Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，線段OA、OB的長(zhǎng)(OA<OB)是方程組的解，點(diǎn)C是直線與直線AB的交點(diǎn)，點(diǎn)D在線段OC上，OD=

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求直線AD的解析式；

(3)P是直線AD上的點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以O、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形（鄰邊相等的平行四邊形）?若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，6）；（2）AD的函數(shù)解析式為y＝x＋6；（3）Q1（3，3）、Q2（3，3）、Q3（6，6）、Q4（3，3）．

【解析】

（1）根據(jù)解方程組，可得A、B的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)解方程組，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)D在OC上，OD＝，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AD的函數(shù)解析式；
（3）結(jié)合菱形的性質(zhì)，分情況討論：若P在x軸上方，若P在x軸下方，若Q在x軸上方，若Q在x軸下方，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．

（1）解，得，即A（6，0）、B（0，12）．設(shè)直線AB的解析式y＝kx＋b，把A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，解得．直線AB的解析式y＝2x＋12，由點(diǎn)C是直線y＝2x與直線AB的交點(diǎn)，得，解得,C點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，6）；
（2）由點(diǎn)D在線段OC上，OD＝，
得，解得，即D點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4）
設(shè)AD的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，把A、D點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得
，解得．
AD的函數(shù)解析式為y＝x＋6；
（3）過(guò)D作DF⊥x軸，由（2）中D的坐標(biāo)可知，則DF＝AF＝4，所以∠OAD＝45°，因?yàn)橐?/span>O、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，所以需分情況討論：

若P在x軸上方，OAPQ是菱形，則PQ∥OA，PQ＝OA＝/span>6＝AP，過(guò)P作PM⊥x軸，

如圖所示，

因?yàn)?/span>∠OAD＝45°，由三角函數(shù)可得PM=AM＝＝3，OM＝63，即P（63，3），

所以Q的橫坐標(biāo)為636＝3，Q1（3，3）；

若P在x軸下方，OAPQ是菱形，則PQ∥OA，PQ＝OA＝6＝AP．過(guò)P作PM⊥x軸，

如圖所示，

因?yàn)?/span>∠MAP＝∠OAD＝45°，由三角函數(shù)得到PM＝AM=＝3，OM＝6＋3，即P（6＋3，3），

所以Q的橫坐標(biāo)為6＋36＝3，Q2（3，3）；

若Q在x軸上方，OAQP是菱形，則∠OAQ＝2∠OAD＝90°，所以此時(shí)OAQP是正方形．

又因正方形邊長(zhǎng)為6，所以此時(shí)Q3（6，6）；

若Q在x軸下方，OPAQ是菱形，則∠PAQ＝2∠OAD＝90°，

所以此時(shí)OPAQ是正方形．又因正方形對(duì)角線為6，

由正方形的對(duì)稱性可得Q4（3，/span>3）．