Question

如圖，點A在y軸上，點B在x軸上，且OA=OB=1，經(jīng)過原點O的直線l交線段AB于點C，過C作OC的垂線，與直線x=1相交于點P，現(xiàn)將直線L繞O點旋轉(zhuǎn)，使交點C從A向B運動，但C點必須在第一象限內(nèi)，并記AC的長為t，分析此圖后，對下列問題作出探究：
（1）當△AOC和△BCP全等時，求出t的值；
（2）通過動手測量線段OC和CP的長來判斷它們之間的大小關系并證明你得到的結(jié)論；
（3）①設點P的坐標為（1，b），試寫出b關于t的函數(shù)關系式和變量t的取值范圍．
②求出當△PBC為等腰三角形時點P的坐標．

Answer 1

（1）△AOC和△BCP全等，則AO=BC=1，
又AB=

2

，
所以t=AB-BC=

2

-1；

（2）OC=CP．
證明：過點C作x軸的平行線，交OA與直線BP于點T、H．
∵PC⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵OA=OB=1，
∴∠OBA=45°，
∵TH∥OB，
∴∠BCH=45°，又∠CHB=90°，
∴△CHB為等腰直角三角形，
∴CH=BH，
∵∠AOB=∠OBH=∠BHT=90°，
∴四邊形OBHT為矩形，∴OT=BH，
∴OT=CH，
∵∠TCO+∠PCH=90°，
∠CPH+∠PCH=90°，
∴∠TCO=∠CPH，
∵HB⊥x軸，TH∥OB，
∴∠CTO=∠THB=90°，TO=HC，∠TCO=∠CPH，
∴△OTC≌△CHP，
∴OC=CP；

（3）①∵△OTC≌△CHP，
∴CT=PH，
∴PH=CT=AT=AC•cos45°=

2

2

t，
∴BH=OT=OA-AT=1-

2

2

t，
∴BP=BH-PH=1-

2

t，
∴b=1-

2

t；（0＜t＜

2

）
②t=0時，△PBC是等腰直角三角形，但點C與點A重合，不在第一象限，所以不符合，
PB=BC，則

2

-t=|1-

2

t|，
解得t=1或t=-1（舍去），
∴當t=1時，△PBC為等腰三角形，
即P點坐標為：P（1，1-

2

）．