【題目】△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B,C重合),以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連接CF.
(1)觀察猜想
如圖1,當(dāng)點D在線段BC上時,
①BC與CF的位置關(guān)系為: .
②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為: ;(將結(jié)論直接寫在橫線上)
(2)數(shù)學(xué)思考
如圖2,當(dāng)點D在線段CB的延長線上時,結(jié)論①,②是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,請你寫出正確結(jié)論再給予證明.
(3)拓展延伸
如圖3,當(dāng)點D在線段BC的延長線上時,延長BA交CF于點G,連接GE.若已知AB=2,CD=BC,請求出GE的長.
【答案】(1)CF⊥BD,BC=CF+CD;(2)成立,證明詳見解析;(3).
【解析】試題分析:(1)①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°,推出△DAB≌△FAC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;②由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD,∠ACF=∠ABD,根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°,推出△DAB≌△FAC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=AB=4,AH=BC=2,求得DH=3,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=DE,∠ADE=90°,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NE=CM,EM=CN,由角的性質(zhì)得到∠ADH=∠DEM,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM=DH=3,DM=AH=2,等量代換得到CN=EM=3,EN=CM=3,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CG=BC=4,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.
試題解析:解:(1)①正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB與△FAC中,,
∴△DAB≌△FAC,
∴∠B=∠ACF,
∴∠ACB+∠ACF=90°,即CF⊥BD;
②△DAB≌△FAC,
∴CF=BD,
∵BC=BD+CD,
∴BC=CF+CD;
(2)成立,
∵正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB與△FAC中,,
∴△DAB≌△FAC,
∴∠B=∠ACF,CF=BD
∴∠ACB+∠ACF=90°,即CF⊥BD;
∵BC=BD+CD,
∴BC=CF+CD;
(3)解:過A作AH⊥BC于H,過E作EM⊥BD于M,EN⊥CF于N,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴BC=AB=4,AH=BC=2,
∴CD=BC=1,CH=BC=2,
∴DH=3,
由(2)證得BC⊥CF,CF=BD=5,
∵四邊形ADEF是正方形,
∴AD=DE,∠ADE=90°,
∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,
∴四邊形CMEN是矩形,
∴NE=CM,EM=CN,
∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°,
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°,
∴∠ADH=∠DEM,
在△ADH與△DEM中,,
∴△ADH≌△DEM,
∴EM=DH=3,DM=AH=2,
∴CN=EM=3,EN=CM=3,
∵∠ABC=45°,
∴∠BGC=45°,
∴△BCG是等腰直角三角形,
∴CG=BC=4,
∴GN=1,
∴EG==.
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【題目】如果多項式x+1與x2﹣bx+c的乘積中既不含x2項,也不含x項,則b、c的值是( )
A.b=c=1
B.b=c=﹣1
C.b=c=0
D.b=0,c=1
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【題目】下面運算正確的是( )
A.7a2b﹣5a2b=2
B.x8÷x4=x2
C.(a﹣b)2=a2﹣b2
D.(2x2)3=8x6
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【題目】一工廠要將100噸貨物運往外地,計劃租用某運輸公司甲、乙兩種型號的汽車共6輛一次將貨物全部運動,已知每輛甲型汽車最多能裝該種貨物16噸,租金800元,每輛乙型汽車最多能裝該種貨物18噸,租金850元,若此工廠計劃此次租車費用不超過5000元,通過計算求出該公司共有幾種租車方案?請你設(shè)計出來,并求出最低的租車費用。
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【題目】如圖所示,四邊形ABCD是正方形,M是AB延長線上一點。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D,且直角頂點E在AB邊上滑動(點E不與點A,B重合),另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F。
⑴如圖1,當(dāng)點E在AB邊的中點位置時:
①通過測量DE,EF的長度,猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ;
②連接點E與AD邊的中點N,猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ;
⑵請你證明上述兩種猜想?
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【題目】某商店購買60件A商品和30件B商品共用了1080元,購買50件A商品和20件B商品共用了880元.
(1)A、B兩種商品的單價分別是多少元?
(2)已知該商店購買B商品的件數(shù)比購買A商品的件數(shù)的2倍少4件,如果需要購買A、B兩種商品的總件數(shù)不少于32件,且該商店購買的A、B兩種商品的總費用不超過296元,那么該商店有哪幾種購買方案?
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