Question

【題目】如圖，矩形EFGH的頂點E，G分別在菱形ABCD的邊AD，BC上，頂點F，H在菱形ABCD的對角線BD上.

(1)求證：BG＝DE.

(2)若E為AD中點，FH＝2，求菱形ABCD的周長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)8.

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質得到EH=FG，EH∥FG，得到∠GFH=∠EHF，求得∠BFG=∠DHE，根據(jù)菱形的性質得到AD∥BC，得到∠GBF=∠EDH，根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論；

（2）連接EG，根據(jù)菱形的性質得到AD=BC，AD∥BC，求得AE=BG，AE∥BG，得到四邊形ABGE是平行四邊形，得到AB=EG，于是得到結論.

解：(1)∵四邊形EFGH是矩形，

∴EH=FG，EH//FG，

∴∠GFH=∠EHF，

∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，

∴∠BFG=∠DHE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD//BC，

∴∠GBF=∠EDH，

∴△BGF≌△DEH(AAS)，

∴BG=DE.

(2)連接EG，∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=BC，

∵E為AD中點，

∴AE=ED，

∵BG=DE，

∴AE=BG，AE//BG，

∴四邊形ABGE是平行四邊形，

∴AB=EG，

∵EG=FH=2，

∴AB=2，

∴菱形ABCD的周長=8.