Question

已知，二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-5，0）和點(diǎn)B，其中點(diǎn)B在第一象限，且OA=OB，cot∠BAO=2．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）過(guò)點(diǎn)B作直線BC平行于x軸，直線BC與二次函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為C，聯(lián)結(jié)AC，如果點(diǎn)P在x軸上，且△ABC和△PAB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，如圖，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，cot∠BAO=

AD

BD

=2，
設(shè)BD=x，AD=2x，
∵OA=0B=5，
∴OD=2x-5，
在Rt△ODB中，∵OD²+BD²=OB²，
∴（2x-5）²+x²=5²，
解得x₁=4，x₂=0（不合題意，舍去），
∴BD=4，OD=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，4），
（2）根據(jù)題意得

25a-5b=0 9a+3b=4

，
解這個(gè)方程組，得

a= 1 6 b= 5 6

，
∴二次函數(shù)的解析式是y=

1

6

x2+

5

6

x；
（3）∵直線BC平行于x軸，
∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，
設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，4）．
由題意得

1

6

m2+

5

6

m=4，解得m₁=3（不合題意，舍去），m₂=-8，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-8，4），BC=11，AB=4

5

．…（1分）
∵∠ABC=∠BAP，
①如果△ABC∽△BAP，那么

AB

BC

=

AB

AP

，
∴AP=11，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0），
②如果△ABC∽△PAB，那么

AB

BC

=

AP

AB

，
∴AP=

80

11

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

25

11

，0），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0）或（

25

11

，0）．