Question

【題目】已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點Q是線段AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長線（如圖2）于點P．
（1）當點P在線段AB上時，求證：△AQP∽△ABC；
（2）當△PQB為等腰三角形時，求AP的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PQ⊥AQ，

∴∠AQP=90°=∠ABC，

在△APQ與△ABC中，

∵∠AQP=90°=∠ABC，∠A=∠A，

∴△AQP∽△ABC

（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．

∵∠QPB為鈍角，

∴當△PQB為等腰三角形時，

（i）當點P在線段AB上時，如題圖1所示．

∵∠QPB為鈍角，

∴當△PQB為等腰三角形時，只可能是PB=PQ，

由（1）可知，△AQP∽△ABC，

∴ ，即 ，解得：PB= ，

∴AP=AB﹣PB=3﹣ = ；

（ii）當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示．

∵∠QBP為鈍角，

∴當△PQB為等腰三角形時，只可能是PB=BQ．

∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，

∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，

∴∠AQB=∠A，

∴BQ=AB，

∴AB=BP，點B為線段AP中點，

∴AP=2AB=2×3=6．

綜上所述，當△PQB為等腰三角形時，AP的長為 或6

【解析】（1）由兩對角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），證明△AQP∽△ABC；（2）當△PQB為等腰三角形時，有兩種情況，需要分類討論．（i）當點P在線段AB上時，如題圖1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）關(guān)系計算AP的長；（ii）當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示．利用角之間的關(guān)系，證明點B為線段AP的中點，從而可以求出AP．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線的相關(guān)知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半才能正確解答此題．