Question

如圖，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3）．動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿B?A，B?C運(yùn)動(dòng)，速度是1厘米/秒．過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q．當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）若a=4厘米，t=1秒，則PM= _________ 厘米；
（2）若a=5厘米，求時(shí)間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；
（3）若在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；
（4）是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等？若存在，求a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）PM=;(2)當(dāng)t=2時(shí)，使△PNB∽△PAD，相似比為2：3;（3）3＜a≤6;（4）∵3＜a≤6時(shí)，當(dāng)a=2時(shí)梯形PMBN與梯形PQDA的面積、梯形PQCN的面積相等．

解析試題分析：（1）要想求出PM的長度,可以利用△ANB∽△APM得到比例,當(dāng)t=1時(shí)，MB=1，NB=1，AM=3，∴PM=;（2）當(dāng)△PNB∽△PAD時(shí),可以得到比例,∵△ANB∽△APM,∴，∴,可以求出t;（3）要判斷兩個(gè)梯形的面積是否相等,只需要把各自的面積表示出來,得到方程,方程有解,則存在,由題,△AMP∽△ABN，∴,即，∴PM=，∵PQ=3﹣，當(dāng)梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，即，化簡(jiǎn)得t=，∵t≤3，∴3＜a≤6;（4）由(2)知道,當(dāng)3＜a≤6時(shí)，梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，∴梯形PQCN的面積與梯形PMBN的面積相等即可，將兩個(gè)梯形的面積表示出來,得到方程,方程有解,則a存在,則CN=PM，∴=3﹣t，得t²﹣2at+3a=0，把t=代入，得9a³﹣108a=0，∵a≠0，∴9a²﹣108=0，∴a=±2，∴a=2,當(dāng)a=2時(shí)梯形PMBN與梯形PQDA的面積、梯形PQCN的面積相等．
試題解析：（1）當(dāng)t=1時(shí)，MB=1，NB=1，AM=4﹣1=3，
∵PM∥BN,
∴△ANB∽△APM，
∴，
∴PM=;
（2）由題,∵△PNB∽△PAD，
∴，
∵△ANB∽△APM,
∴，
∴,
∴t=2，相似比為2：3;
（3）∵PM⊥AB，CB⊥AB，∠AMP=∠ABC，
∴△AMP∽△ABN，
∴,即，
∴PM=，
∵PQ=3﹣，
當(dāng)梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，即==，
化簡(jiǎn)得t=，
∵t≤3，
∴≤3，
則a≤6，
∴3＜a≤6;
（4）由(2)知道,當(dāng)3＜a≤6時(shí)，梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，
∴梯形PQCN的面積與梯形PMBN的面積相等即可，則CN=PM，
∴=3﹣t，
兩邊同時(shí)乘以a，得at﹣t²=3a﹣at，
整理，得t²﹣2at+3a=0，
把t=代入，整理得9a³﹣108a=0，
∵a≠0，
∴9a²﹣108=0，
∴a=±2，
∴a=2,
∴存在a，當(dāng)a=2時(shí)梯形PMBN與梯形PQDA的面積、梯形PQCN的面積相等．
考點(diǎn)：1.三角形的相似;2.一元二次方程;3.不等式.