Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），作直線BC．動點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（Ⅰ）求拋物線的解析式和直線BC的解析式；

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動時(shí)，求線段MN的最大值；

（Ⅲ）當(dāng)以C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，y=﹣x+3；（2） ；（3）或

【解析】試題分析：（1）把A、C兩點(diǎn)代入拋物線的解析式中列方程組可求得b、c的值，令y=0，解方程可得B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式；

（2）根據(jù)解析式分別表示M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)的差就是MN的長，配方后求最值即可；

（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，則有MN=﹣m2+3m，②當(dāng)點(diǎn)P不在線段OB上時(shí)，則有MN=﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣3m，根據(jù)MN=3列方程解出即可．

試題解析：解：（1）∵拋物線過A、C兩點(diǎn)，∴代入拋物線解析式可得： ，解得： ，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，令y=0可得，﹣x2+2x+3=0，解x1=﹣1，x2=3，∵B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），設(shè)直線BC解析式為y=kx+s，把B、C坐標(biāo)代入可得： ，解得： ，∴直線BC解析式為y=﹣x+3；

（2）∵PM⊥x軸，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴M（m，﹣m2+2m+3），N（m，﹣m+3），∵P在線段OB上運(yùn)動，∴M點(diǎn)在N點(diǎn)上方，∴MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∴當(dāng)m=時(shí)，MN有最大值，MN的最大值為；

（3）∵PM⊥x軸，∴MN∥OC，當(dāng)以C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，則有OC=MN，當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，則有MN=﹣m2+3m，∴﹣m2+3m=3，此方程無實(shí)數(shù)根，當(dāng)點(diǎn)P不在線段OB上時(shí)，則有MN=﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣3m，∴m2﹣3m=3，解得m= 或m=．

綜上可知當(dāng)以C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，m的值為或．