Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，點(diǎn)P、Q分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q沿CA、AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（s）．

（1）求x為何值時(shí)，PQ⊥AC；

（2）設(shè)△PQD的面積為y（cm2），當(dāng)0＜x＜2時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，求證：AD平分△PQD的面積；

（4）探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍（不要求寫(xiě)出過(guò)程）．

Answer 1

【答案】（1）x=；（2）y=﹣x2+x；（3）證明見(jiàn)解析；（4）當(dāng)0≤x＜或＜x＜或＜x≤4時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相交．

【解析】

（1）若使PQ⊥AC，則根據(jù)路程=速度×時(shí)間表示出CP和CQ的長(zhǎng)，再根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)列方程求解；

（2）首先畫(huà)出符合題意的圖形，再根據(jù)路程=速度×時(shí)間表示出BP，CQ的長(zhǎng)，根據(jù)等邊三角形的三線合一求得PD的長(zhǎng)，根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)求得PD邊上的高，再根據(jù)面積公式進(jìn)行求解；

（3）根據(jù)三角形的面積公式，要證明AD平分△PQD的面積，只需證明O是PQ的中點(diǎn)．根據(jù)題意可以證明BP=CN，則PD=DN，再根據(jù)平行線等分線段定理即可證明；

（4）根據(jù)（1）中求得的值即可分情況進(jìn)行討論．

（1）當(dāng)Q在AB上時(shí)，顯然PQ不垂直于AC，

當(dāng)Q在AC上時(shí)，由題意得，BP=x，CQ=2x，PC=4﹣x；

∵AB=BC=CA=4，

∴∠C=60°；

若PQ⊥AC，則有∠QPC=30°，

∴PC=2CQ，

∴4﹣x=2×2x，

∴x=；

（2）y=﹣x2+x，

如圖所示，

當(dāng)0＜x＜2時(shí)，P在BD上，Q在AC上，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥BC于N；

∵∠C=60°，QC=2x，

∴QN=QC×sin60°=x；

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD=BC=2，

∴DP=2﹣x，

∴y=PDQN=（2﹣x）x=﹣x2+x；

（3）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，

在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；

∴NC=x，

∴BP=NC，

∵BD=CD，

∴DP=DN；

∵AD⊥BC，QN⊥BC，

∴AD∥QN，

∴OP=OQ，

∴S△PDO=S△DQO，

∴AD平分△PQD的面積；

（4）顯然，不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與AC相離，

由（1）可知，當(dāng)x=時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相切；

當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，

8﹣2x=，

解得x=，

故當(dāng)x=或時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相切，

當(dāng)0≤x＜或＜x＜或＜x≤4時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相交．