Question

【題目】如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，交⊙O于點P，OA=5，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C．

（1）求證：AB=AC．

（2）若PC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）⊙O的半徑為3．

【解析】

試題分析：（1）由同圓半徑相等和對頂角相等得∠OBP=∠APC，由圓的切線性質(zhì)和垂直得∠ABP+∠OBP=90°和∠ACB+∠APC=90°，則∠ABP=∠ACB，根據(jù)等角對等邊得AB=AC；

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，分別在Rt△AOB和Rt△ACP中根據(jù)勾股定理列等式，并根據(jù)AB=AC得52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，求出r的值即可．

試題解析：（1）連接OB，∵OB=OP，∴∠OPB=∠OBP，∵∠OPB=∠APC，

∴∠OBP=∠APC，∵AB與⊙O相切于點B，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，

∴∠ABP+∠OBP=90°，∵OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∴∠ACB+∠APC=90°，∴∠ABP=∠ACB，

∴AB=AC；

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△AOB中，AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，

在Rt△ACP中，AC2=PC2﹣PA2，AC2=（2）2﹣（5﹣r）2，

∵AB=AC，∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，解得：r=3，

則⊙O的半徑為3．