Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B分別在函數(shù)y₁=（x＞0）與y₂=﹣（x＜0）的圖象上，A、B的橫坐標(biāo)分別為

a、b．

（1）若AB∥x軸，求△OAB的面積；

（2）若△OAB是以AB為底邊的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；

（3）作邊長(zhǎng)為3的正方形ACDE，使AC∥x軸，點(diǎn)D在點(diǎn)A的左上方，那么，對(duì)大于或等于4的任意實(shí)數(shù)a，CD邊與函數(shù)y₁=（x＞0）的圖象都有交點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．

【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．

【分析】（1）如圖1，AB交y軸于C，由于AB∥x軸，根據(jù)k的幾何意義得到S_△OAC=2，S_△OBC=2，所以S_△OAB=S_△OAC+S_△OBC=4；

（2）根據(jù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得A、B的縱坐標(biāo)分別為、﹣，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到OA²=a²+（）²，OB²=b²+（﹣）²，則利用等腰三角形的性質(zhì)得到a²+（）²=b²+（﹣）²，變形得到（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，由于a+b≠0，a＞0，b＜0，所以1﹣=0，易得ab=﹣4；

（3）由于a≥4，AC=3，則可判斷直線CD在y軸的右側(cè)，直線CD與函數(shù)y₁=（x＞0）的圖象一定有交點(diǎn)，設(shè)直線CD與函數(shù)y₁=（x＞0）的圖象交點(diǎn)為F，由于A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，），正方形ACDE的邊長(zhǎng)為3，則得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（a﹣3，），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（a﹣3，），所以FC=﹣，然后比較FC與3的大小，由于3﹣FC=3﹣（﹣）=，而a≥4，所以3﹣FC≥0，于是可判斷點(diǎn)F在線段DC上．

【解答】解：（1）如圖1，AB交y軸于C，

∵AB∥x軸，

∴S_△OAC=×|4|=2，S_△OBC=×|﹣4|=2，

∴S_△OAB=S_△OAC+S_△OBC=4；

（2）∵A、B的橫坐標(biāo)分別為a、b，

∴A、B的縱坐標(biāo)分別為、﹣，

∴OA²=a²+（）²，OB²=b²+（﹣）²，

∵△OAB是以AB為底邊的等腰三角形，

∴OA=OB，

∴a²+（）²=b²+（﹣）²，

∴a²﹣b²+（）²﹣（）²=0，

∴a²﹣b²+=0，

∴（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，

∵a+b≠0，a＞0，b＜0，

∴1﹣=0，

∴ab=﹣4；

（3）∵a≥4，

而AC=3，

∴直線CD在y軸的右側(cè)，直線CD與函數(shù)y₁=（x＞0）的圖象一定有交點(diǎn)，

設(shè)直線CD與函數(shù)y₁=（x＞0）的圖象交點(diǎn)為F，如圖2，

∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，），正方形ACDE的邊長(zhǎng)為3，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（a﹣3，），

∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（a﹣3，），

∴FC=﹣，

∵3﹣FC=3﹣（﹣）=，

而a≥4，

∴3﹣FC≥0，即FC≤3，

∵CD=3，

∴點(diǎn)F在線段DC上，

即對(duì)大于或等于4的任意實(shí)數(shù)a，CD邊與函數(shù)y₁=（x＞0）的圖象都有交點(diǎn)．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義、圖形與坐標(biāo)和正方形的性質(zhì)；會(huì)利用求差法對(duì)代數(shù)式比較大�。�