Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2，一個(gè)銳角等于60°的菱形紙片，小芳同學(xué)將一個(gè)三角形紙片的一個(gè)頂點(diǎn)與該菱形頂點(diǎn)D重合，按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)三角形紙片，使它的兩邊分別交CB、BA（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)E、F，∠EDF=60°，當(dāng)CE=AF時(shí)，如圖1小芳同學(xué)得出的結(jié)論是DE=DF．

（1）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當(dāng)CE≠AF時(shí)，如圖2小芳的結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由
（2）再次旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在CB、BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3請(qǐng)直接寫出DE與DF的數(shù)量關(guān)系；
（3）連EF，若△DEF的面積為y，CE=x，求y與x的關(guān)系式，并指出當(dāng)x為何值時(shí)，y有最小值，最小值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：DF=DE．理由如下：

如答圖1，連接BD．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB．

又∵∠DAB=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，

∴∠DBE=∠DAF=60°

∵∠EDF=60°，

∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF與△BDE中，，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DF=DE；

（2）

解：DF=DE．理由如下：

如答圖2，連接BD．∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB．

又∵∠DAB=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，

∴∠DBE=∠DAF=60°

∵∠EDF=60°，

∴∠ADF=∠BDE．

∵在△ADF與△BDE中，，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DF=DE；

（3）

解：

由（2）知，DE=DF，又∵∠EDF=60°，

∴△DEF是等邊三角形，

∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，

∴DH=，

∵BF=CE=x，

∴AF=x﹣2，

∴FH=AF+AH=x﹣2+1=x﹣1，

∴DF==，DG=×，

∴y=S△DEF=×EF×DG=×××=（x﹣1）2+．

∴當(dāng)x=1時(shí)，y最小值=．

【解析】（1）如答圖1，連接BD．根據(jù)題干條件首先證明∠ADF=∠BDE，然后證明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；
（2）如答圖2，連接BD．根據(jù)題干條件首先證明∠ADF=∠BDE，然后證明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；
（3）根據(jù)（2）中的△ADF≌△BDE得到：△DEF是等邊三角形，AF=BE．所以要表示△DEF的面積需要用含x的代數(shù)式把底EF和高DG表示出來(lái).據(jù)此列出y關(guān)于x的二次函數(shù)，通過(guò)求二次函數(shù)的最值來(lái)求y的最小值．