Question

【題目】定義：有一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形叫做箏形．

探究：（1）如圖1，四邊形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，求證：四邊形ABCD是箏形；

（2）下列關(guān)于箏形的性質(zhì)表述正確的是 ；（把你認(rèn)為正確的序號(hào)填在橫線上）

①箏形的對(duì)角線互相垂直平分； ②箏形中至少有一對(duì)對(duì)角相等；

③箏形是軸對(duì)稱圖形； ④箏形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半．

應(yīng)用：

（3）如圖2，在箏形ABCD中，AB≠AD，若∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝4，請(qǐng)求出對(duì)角線BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）②③④；（3）4

【解析】

（1）利用SSS證明△ABD≌△CBD即可；（2）①箏形的對(duì)角線只互相垂直，沒(méi)有平分，故錯(cuò)誤；②箏形中有一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，所以至少有一對(duì)對(duì)角相等，正確；③箏形是軸對(duì)稱圖形；④箏形的面積被一條對(duì)角線平分，且兩條對(duì)角線互相垂直，所以箏形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半，正確；（3）過(guò)D作DE⊥BA交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求得

∠ABD＝30°，∠ADB＝15°，∠DAE＝45°，即△ABE為等腰直角三角形，則可求出DE，然后再求出BD即可.

（1）∵AB＝BC，AD＝DC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB，∴四邊形ABCD是箏形．

（2）②③④

（3）過(guò)D作DE⊥BA交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

在箏形ABCD中，AB≠AD，∴BD平分∠ABC，平分∠ADC，∴∠ABD＝∠ABC＝30°，∠ADB＝∠ADC＝15°，∴∠DAE＝45°. 在等腰直角△ABE∵AD＝4，∴DE＝2，

故在Rt△BDE中BD＝4.