Question

【題目】四邊形中，，，的頂點(diǎn)在上，交直線于點(diǎn)．

（1）如圖1，若，，連接，求的長(zhǎng)．

（2）如圖2，，當(dāng)時(shí)，求證：是的中點(diǎn)；

（3）如圖3，若，對(duì)角線，交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接、、，求的長(zhǎng)，請(qǐng)直接寫出答案．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）先證明，求出，，利用Rt中，求出，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出DF的長(zhǎng)；

（2）在上取點(diǎn)，使，連接，得到為等邊三角形，再證明得到，根，求出，故可得到，即可證明；

（3）先利用，得到平行四邊形為矩形，設(shè)與交點(diǎn)為，根據(jù)對(duì)稱性得到OD垂直平分CC’，根據(jù)等積法求出CM，利用勾股定理求出OM，再根據(jù)中位線的性質(zhì)求出AC’，利用平行線證明，得到，再根據(jù)AD=8，進(jìn)而求出AG的長(zhǎng)．

（1）∵

∴∠C=180°-∠B=90°，∠FEB+∠EFB=∠FEB+∠DEC=90°，

∴∠EFB=∠DEC

又

∴，

∴

∵

∴，

在Rt中，

∵，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴；

（2）證明：如圖2，在上取點(diǎn)，使，連接，則為等邊三角形，

∴，

∴．

∵四邊形為平行四邊形，，

∴，

∴．

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴

∵

∴

∴，，

∴是的中點(diǎn)．

（3）解：由題意得，為線段的垂直平分線，設(shè)與交點(diǎn)為

∵，

∴平行四邊形為矩形，

∴，，，

∴．

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

∴，且，

∴，

∴，

∴．