【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c經過A(﹣1,0),C(0,4)兩點,與x軸交于另一點B,
(1)求拋物線的解析式;
(2)求P在第一象限的拋物線上,P點的橫坐標為t,過點P向x軸做垂線交直線BC于點Q,設線段PQ的長為m,求m與t之間的函數關系式并求出m的最大值;
(3)在(2)的條件下,拋物線上一點D的縱坐標為m的最大值,連接BD,在拋物線是否存在點E(不與點A,B,C重合)使得∠DBE=45°?若不存在.請說明理由;若存在請求E點的坐標.
【答案】
(1)
解:拋物線y=﹣x2+bx+c經過A(﹣1,0)、C(0,4)兩點,
∴ 解得
∴拋物線的解析式y=﹣x2+3x+4
(2)
解:令﹣x2+3x+4=0,
解得x1=﹣1,x2=4,
∴B(4,0)
設直線BC的解析式為y=kx+a
∴ 解得 ,
∴直線BC的解析式為y=﹣x+4
設P點的坐標為(t,﹣t2+3t+4),則Q點的坐標為(t,﹣t+4)
∴m=(﹣t2+3t+4)﹣(﹣t+4)=﹣(t﹣2)2+4
整理得m=﹣(t﹣2)2+4,
∴當t=2時,m的最大值為4
(3)
解:存在
∵拋物線一點D的縱坐標為m的最大值4,
∴﹣x2+3x+4=4,解得x1=0(舍),x2=3
∴D(3,4),CD=3
∵C(0,4),
∴CD∥x軸,
∵OC=OB=4,
∴△BOC為直角三角形,
過點D作DH⊥BC于H,過點E作EF⊥x于點F,在△CDB中,CD=3,∠DCB=45°
∴CH=DH= ,
∵CB=4 ,∴BH=CB﹣CH=
∵∠DBE=∠CBO=45°
∴∠DBE﹣∠CBE=∠CBO﹣∠CBE,
即∠DBC=∠EBF
∴tan∠DBC= = =
設EF=3a∴BF=5a
∴OF=5a﹣4
∴F(4﹣5a,0),E(4﹣5a,3a)
∵點E在拋物線上
∴3a=﹣(4﹣5a)2+3(4﹣5a)+4
解得a1=0 a2=
∴E(﹣ , ).
【解析】(1)把點A、B的坐標代入拋物線解析式,解關于b、c的方程組求出b、c的值即可得到拋物線解析式,令y=0,解關于x的一元二次方程即可得到點C的坐標;(2)根據拋物線的解析式y=﹣x2+3x+4,令y=0求得點B的坐標為(4.0),設直線BC的解析式為y=kx+a把點B、C的坐標代入直線BC的解析式為y=kx+a,解關于k、a的方程組求出k、a的值,所以直線BC的解析式為y=﹣x+4,設P點的坐標為(t,﹣t2+3t+4),則Q點的坐標為(t,﹣t+4),所以m=(﹣t2+3t+4)﹣(﹣t+4),整理得m=﹣(t﹣2)2+4,根據關于m、t的二次函數即可求得.(3)根據m的最大值是4,代入y=﹣x2+3x+4,可求得D點的坐標(3,4),過D點作DH⊥BC,過E點作EF⊥x軸,由OC=OB=4得△DCB為等腰直角三角形,從而得出△CDH為等腰直角三角形,通過等腰直角三角形求得CN、BH的值,然后根據三角形相似求得EF、BF的關系,設出E點的坐標,然后代入y=﹣x2+3x+4即可求得.
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點,需要掌握增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】計劃撥款9萬元從廠家購進50臺電視機已知該廠家生產三種不同型號的電視機,出廠價分別為:甲種每臺1500元,乙種每臺2100元,丙種每臺2500元.
若商場同時購進其中兩種不同型號電視機共50臺,用去9萬元,請研究一下商場的進貨方案;
若商場銷售一臺甲種電視機可獲利150元,銷售一臺乙種電視機可獲利200元,銷售一臺丙種電視機可獲利250元在同時購進兩種不同型號電視機的方案中,為使銷售時獲利最多,你選擇哪種進貨方案;
若商場準備用9萬元同時購進三種不同的電視機50臺,請你設計進貨方案.
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【題目】如圖①,四邊形ABCD中,BC∥AD,∠A=90°,點P從A點出發(fā),沿折線AB→BC→CD運動,到點D時停止,已知△PAD的面積s與點P運動的路程x的函數圖象如圖②所示,則點P從開始到停止運動的總路程為( )
A.4
B.2+
C.5
D.4+
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【題目】如圖,隧道的截面由半圓和長方形構成,長方形的長BC為8m,寬AB為1m,該隧道內設雙向行駛的車道(共有2條車道),若現有一輛貨運卡車高4m,寬2.3m。則這輛貨運卡車能否通過該隧道?說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,矩形OEFG的頂點E的坐標為(4,0),頂點G的坐標為(0,2),將矩形OEFG繞點O逆時針旋轉,使點F落在y軸的點N處,得到矩形OMNP,OM與GF交于點A.
(1)求圖象經過點A的反比例函數的解析式;
(2)設(2)中的反比例函數圖象交EF于點B,直接寫出直線AB的解析式.
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【題目】如圖,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點D是BC邊的中點,分別以B、C為圓心,大于線段BC長度一半的長為半徑畫弧,兩弧在直線BC上方的交點為P,直線PD交AC于點E,連接BE,則下列結論:①ED⊥BC;②∠A=∠EBA;③EB平分∠AED;④ED= AB中,一定正確的是( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
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【題目】某醫(yī)藥研究生開發(fā)了一種新藥,在實驗藥效時發(fā)現,如果成人按規(guī)劑量服用,那么服用藥后2h時血液中含藥量最高,達每毫升6ug,接著逐步衰減,10h時血液中含藥量每毫升3ug,每毫升血液中含藥量y(ug)隨時間x(h)的變化如圖所示,當成人按規(guī)定劑量服藥后.
(1)分別求出x≤2和x>2時,y與x之間的函數關系式;
(2)如果每毫升血液含藥量為4ug或4ug以上時在治療疾病時是有效的,那么這個有效時間是多長?每天至少吃幾次藥療效最好?
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【題目】四川雅安發(fā)生地震后,某校學生會向全校1900名學生發(fā)起了“心系雅安”捐款活動,為了解捐款情況,學生會隨機調查了部分學生的捐款金額,并用得到的數據繪制了如下統計圖①和圖②,請根據相關信息,解答下列是問題:
(1)本次接受隨機抽樣調查的學生人數為 ,圖①中m的值是 ;
(2)求本次調查獲取的樣本數據的平均數、眾數和中位數;
(3)根據樣本數據,估計該校本次活動捐款金額為10元的學生人數.
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