Question

【題目】已知拋物線（是常數(shù)）的頂點(diǎn)為，直線

求證：點(diǎn)在直線上；

當(dāng)時(shí)，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為，是軸下方拋物線上的一點(diǎn)，（如圖），求點(diǎn)的坐標(biāo)；

若以拋物線和直線的兩個(gè)交點(diǎn)及坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）的值為，，，，．

【解析】

（1）利用配方法得到，點(diǎn)，然后根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷點(diǎn)在直線上；

（2）當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為，根據(jù)拋物線與軸的交點(diǎn)問題求出，易得，通過解方程組，得，，作軸于，軸于，軸于，如圖，證明，利用相似得，設(shè)，則，得（舍去），，于是得到點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（3）通過解方程組得，，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到，，然后分類討論：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，再分別解關(guān)于的方程求出即可.

證明：∵，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)在直線上；

解：當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為，

當(dāng)時(shí)，，解得，，則，

當(dāng)時(shí)，，則，

可得解方程組，解得或，

則，，

作軸于，軸于，軸于，如圖，

∵，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∵，

∵，

∴，

∴，

∴，

設(shè)，

∴，，

∴，

整理得，解得（舍去），，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

解：解方程組得或，則，，

∴，，，

當(dāng)時(shí)，，解得，；

當(dāng)時(shí)，，解得，；

當(dāng)時(shí)，，解得，

綜上所述，的值為，，，，．