Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點(diǎn)A在DE上，以A為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)C，且對(duì)稱軸x＝1交x軸于點(diǎn)B．連接EC，AC．點(diǎn)P，Q為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求拋物線的解析式．

（2）在圖①中，若點(diǎn)P在線段OC上從點(diǎn)O向點(diǎn)C以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CE上從點(diǎn)C向點(diǎn)E以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為直角三角形？

（3）在圖②中，若點(diǎn)P在對(duì)稱軸上從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P做PF⊥AB，交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，交拋物線于點(diǎn)Q，連接AQ，CQ．當(dāng)t為何值時(shí)，△ACQ的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）當(dāng)t＝或t＝時(shí)，△PCQ為直角三角形；（3）當(dāng)t＝2時(shí)，△ACQ的面積最大，最大值是1．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸與矩形的性質(zhì)可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線的解析式；

（2）先根據(jù)勾股定理可得CE，再分兩種情況：當(dāng)∠QPC＝90°時(shí)；當(dāng)∠PQC＝90°時(shí)；討論可得△PCQ為直角三角形時(shí)t的值；

（3）根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的解析式，根據(jù)S△ACQ＝S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ＝＝﹣（t﹣2）2+1，依此即可求解．

解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4），點(diǎn)A在DE上，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，4），

設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+4，把C（3，0）代入拋物線的解析式，可得a（3﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1．

故拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；

（2）依題意有：OC＝3，OE＝4，

∴CE＝＝＝5，

當(dāng)∠QPC＝90°時(shí)，

∵cos∠QPC＝，

∴，解得t＝；

當(dāng)∠PQC＝90°時(shí)，

∵cos∠QCP＝，

∴，解得t＝．

∴當(dāng)t＝或 t＝時(shí)，△PCQ為直角三角形；

（3）∵A（1，4），C（3，0），

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，則有：

，解得．故直線AC的解析式為y＝﹣2x+6．

∵P（1，4﹣t），將y＝4﹣t代入y＝﹣2x+6中，得x＝1+，

∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+，將x＝1+ 代入y＝﹣（x﹣1）2+4 中，得y＝4﹣．

∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4﹣，

∴QF＝（4﹣）﹣（4﹣t）＝t﹣，

∴S△ACQ ＝S△AFQ +S△CFQ

＝FQAG+FQDG，

＝FQ（AG+DG），

＝FQAD，

＝×2（t﹣），

＝﹣（t﹣2）2+1，

∴當(dāng)t＝2時(shí)，△ACQ的面積最大，最大值是1．