Question

【題目】如圖，點(diǎn)E是菱形ABCD對(duì)角線CA的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以線段AE為邊作一個(gè)菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，連接EB，GD．
（1）求證：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG= ，求GD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，

∴∠EAG=∠BAD，

∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，

∴∠EAB=∠GAD，

∵AE=AG，AB=AD，

∴△AEB≌△AGD，

∴EB=GD；

（2）解：連接BD交AC于點(diǎn)P，則BP⊥AC，

∵∠DAB=60°，

∴∠PAB=30°，

∴BP= AB=1，

AP= = ，AE=AG= ，

∴EP=2 ，

∴EB= = = ，

∴GD= ．

【解析】（1）利用相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等和菱形的四邊相等證得三角形全等后即可證得兩條線段相等；（2）連接BD交AC于點(diǎn)P，則BP⊥AC，根據(jù)∠DAB=60°得到BP= AB=1，然后求得EP=2 ，最后利用勾股定理求得EB的長(zhǎng)即可求得線段GD的長(zhǎng)即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對(duì)菱形的性質(zhì)的理解，了解菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半．