Question

【題目】數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：

已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，延長CB到點D，∠DBE=45°，點F是邊BC上一點，連結(jié)AF，作FE⊥AF，交BE于點E．

（1）求證：∠CAF=∠DFE；

（2）求證：AF=EF．

經(jīng)過獨立思考后，老師讓同學(xué)們小組交流．小輝同學(xué)說出了對于第二問的想法：“我想通過構(gòu)造含有邊AF和EF的全等三角形，因此我過點E作EG⊥CD于G（如圖2所示），如果能證明Rt△ACF和Rt△FGE全等，問題就解決了．但是這兩個三角形證不出來相等的邊，好像這樣作輔助線行不通．”小亮同學(xué)說：“既然這樣作輔助線證不出來，再考慮有沒有其他添加輔助線的方法．”請你順著小亮同學(xué)的思路在圖3中繼續(xù)嘗試，并完成（1）、（2）問的證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）依據(jù)“同角的余角相等”，即可得到∠CAF=∠DFE；

（2）在AC 上截取AG=BF，連結(jié)FG，依據(jù)ASA即可判定△AGF≌△FBE，進而得出AF=EF．

證明：（1）∵∠C=90°，

∴∠CAF+∠AFC=90°．

∵FE⊥AF，

∴∠DFE+∠AFC=90°．

∴∠CAF=∠DFE．

（2）如圖3，在AC上截取AG=BF，連結(jié)FG，

∵AC=BC，

∴AC-AG=BC-BF，即CG=CF．

∵∠C=90°，

∴∠CGF=∠CFG=45°．

∴∠AGF=180°-∠CGF=135°．

∵∠DBE=45°，

∴∠FBE=180°-∠DBE=135°．

∴∠AGF=∠FBE．

由（1）可得：∠CAF=∠DFE．

∴△AGF≌△FBE（ASA）．

∴AF=EF．