Question

13．觀察并探求下列各問(wèn)題，寫(xiě)出你所觀察得到的結(jié)論，并說(shuō)明理由．

（1）如圖①，△ABC中，P為邊BC上一點(diǎn)，試觀察比較BP+PC與AB+AC的大小，并說(shuō)明理由．
（2）將（1）中點(diǎn)P移至△ABC內(nèi)，得圖②，試觀察比較△BPC的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的大小，并說(shuō)明理由．
（3）將（2）中點(diǎn)P變?yōu)閮蓚�(gè)點(diǎn)P₁、P₂得圖③，試觀察比較四邊形BP₁P₂C的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的大小，并說(shuō)明理由．
（4）將（3）中的點(diǎn)P₁、P₂移至△ABC外，并使點(diǎn)P₁、P₂與點(diǎn)A在邊BC的異側(cè)，且∠P₁BC＜∠ABC，∠P₂CB＜∠ACB，得圖④，試觀察比較四邊形BP₁P₂C的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）、（2）、（3）通過(guò)作輔助線，利用三角形的第三邊小于兩邊之和，大于兩邊之差進(jìn)行解答即可；
（4）通過(guò)將四邊形BP₁P₂C沿直線BC翻折，使點(diǎn)P₁、P₂落在△ABC內(nèi)，轉(zhuǎn)化為（3）情形，從而問(wèn)題得解．

解答 解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由如下：
在△ABC中，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，得：BC＜AB+AC，
即BP+PC＜AB+AC；
（2）△BPC的周長(zhǎng)＜△ABC的周長(zhǎng)．理由如下：
如圖1，延長(zhǎng)BP交AC于M，
在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，
在△PMC中，PC＜PM+MC，
兩式相加得BP+PC＜AB+AC，
∴BP+PC+BC＜AB+AC+BC，
即△BPC的周長(zhǎng)＜△ABC的周長(zhǎng)．
（3）四邊形BP₁P₂C的周長(zhǎng)＜△ABC的周長(zhǎng)．理由如下：
如圖2，分別延長(zhǎng)BP₁、CP₂交于M，
由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P₁P₂＜P₁M+P₂M，
可得，BP₁+P₁P₂+P₂C＜BM+CM＜AB+AC，
∴BP₁+P₁P₂+P₂C+BC＜BM+CM＜AB+AC+BC，
即四邊形BP₁P₂C的周長(zhǎng)＜△ABC的周長(zhǎng)．
（4）四邊形BP₁P₂C的周長(zhǎng)＜△ABC的周長(zhǎng)．理由如下：
將四邊形BP₁P₂C沿直線BC翻折，使點(diǎn)P₁、P₂落在△ABC內(nèi)，
轉(zhuǎn)化為（3）情形，
同（3）得：四邊形BP₁P₂C的周長(zhǎng)＜△ABC的周長(zhǎng)．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形綜合題目，考查了三角形的三邊關(guān)系、三角形和四邊形周長(zhǎng)的計(jì)算；比較線段的長(zhǎng)短常常利用三角形的三邊關(guān)系以及不等式的性質(zhì)，通過(guò)作輔助線進(jìn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．