Question

用19米長(zhǎng)的鋁合金條制成如圖所示的矩形窗框，CD長(zhǎng)表示窗框的寬，EF=0.5米．（鋁合金條的寬度忽略不計(jì)）
（1）求窗框的透光面積S（平方米）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如何設(shè)計(jì)才能使窗框的透光面積最大？最大面積為多少？
（3）當(dāng)窗框的面積不小于10平方米時(shí)，試結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可證明四邊形BCHG、四邊形DEGH、四邊形ABEF是矩形．由圖得出BC以及AC，從而得出用含x的代數(shù)式表示S即可；
（2）根據(jù)（1）關(guān)系式利用公式法求出最值即可，
（3）根據(jù)當(dāng)s=10時(shí)解方程即可得出圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，得出圖象即可得出x的取值范圍．

解答：解：（1）在矩形ACDF中，∵∠A=90°，AB∥EF，AF∥BE，∴四邊形ABEF是矩形，
∴EF=AB=0.5米．GH⊥CD，∴∠CHG=90°=∠C=∠CBG，
∴四邊形BCHG是矩形，同理四邊形DEGH是矩形．
設(shè)AF=x，
∵BC=HG=DE=

19-2×0.5-3x

3

=6-x，AC=BC+AB，
∴y=6-x+0.5=-x+

13

2

．
S=xy=（-x+

13

2

）x=-x ²+

13

2

x，

（2）依題意得S=-x ²+

13

2

x，
當(dāng)x=-

b

2a

=-

13 2

2×(-1)

=

13

4

時(shí)，
S_最大=

4ac-b2

4a

=

0- 169 4

4×(-1)

=

169

16

；


（3）當(dāng)（-x+

13

2

）x=10，
解得x₁=

5

2

，x₂=4，
當(dāng)s=0，則0=-x ²+

13

2

x，
解得：x₁=0，x₂=6.5，
圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，0），（6.5，0），再利用圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（

13

4

，

169

16

），
如圖所示：
當(dāng)窗框的面積不小于10平方米時(shí)，結(jié)合函數(shù)的圖象得出x的取值范圍是：2.5≤x≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)最值求法以及一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，根據(jù)圖象得出x的取值范圍是解題關(guān)鍵．