Question

如圖，?ABCD中，E是CD的延長線上一點，BE與AD交于點F，DE=

1

2

CD．
（1）求證：AB：CE=AF：BC；
（2）若△DEF的面積為3，求：?ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）利用“兩角法”證得△ABF∽△CEB，則該相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即AB：CE=AF：BC；
（2）根據(jù)AD∥BC，AB∥CD，即可判定△EDF∽△ECB，△DEF∽△ABF，根據(jù)DE=

1

2

DC即可求得△BCE的面積和△ABF的面積，即可計算平行四邊形的面積．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，AB∥CD，
∴∠ABF=∠CEB，
∴△ABF∽△CEB．                    
∴AB：CE=AF：BC；
                      
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，
∵DE=

1

2

CD，∴DE=

1

3

EC，DE=

1

2

AB
∴

S△DEF

S△CEB

=(

DE

EC

)2=

1

9

，

S△DEF

S△ABF

=(

DE

AB

)2=

1

4

，
∵△DEF的面積為3，
∴S_△BCE=27，S_△ABF=12，
∴S_{四邊形BCDF}=S_△BCE-S_△DEF=24，
∴S_{四邊形ABCD}=S_{四邊形BCDF}+S_△ABF=24+12=36．

點評：本題考查了相似三角形的判定，相似三角形對應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，本題中求△BCE的面積和△ABF的面積是解題的關(guān)鍵．