Question

【題目】（閱讀）

如圖1，四邊形OABC中，OA＝a，OC＝8，BC＝6,∠AOC＝∠BCO＝90°，經(jīng)過點O的直線l將四邊形分成兩部分，直線l與OC所成的角設為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點C落在點D處，我們把這個操作過程記為FZ[θ，a]．

（理解）

若點D與點A重合，則這個操作過程為FZ[45°，8]；

（嘗試）

（1）若點D與OA的中點重合，則這個操作過程為FZ[____，____]；

（2）若點D恰為AB的中點（如圖2），求θ的值；

（應用）

經(jīng)過FZ[45°，a]操作，點B落在點E處，若點E在四邊形OABC的邊AB上，直線l與AB相交于點F，試畫出圖形并解決下列問題：

①求出a的值；

②若P為邊OA上一動點，連接PE、PF，請直接寫出PE＋PF的最小值．

（備注：等腰直角三角形的三邊關系滿足或)

Answer 1

【答案】（1）FZ[45°，16]；（2）θ＝30°；【應用】①a的值為14；② .

【解析】

（1）利用軸對稱的性質(zhì)，即可解決問題；

（2）延長MD、OA，交于點N，如圖2．易證△BDM≌△AND，則有DM＝DN，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得OM＝ON，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠MOD＝∠NOD，從而可求出θ.

（3）①過點B作BH⊥OA于點H，如圖3，易得∠FOA＝45°，∠OFA＝90°，∠OAB＝45°，

從而得∠HBA＝∠HAB，則有BH＝AH，易證四邊形BCOH是平行四邊形，則有BH＝CO＝8，OH＝CB＝6，即可求出OA的長，進而求出a的值；②過點F作OA的對稱點Q，連接AQ，EQ，如圖3，則有∠QAO=∠FAO=45°，QA=FA，從而可得∠QAF=90°，然后根據(jù)等腰直角三角形三邊的比例，求得：AB，AF,進而，求得BF，EF,AE，在RtQAE中，根據(jù)勾股定理，可求出EQ的長，最后根據(jù)兩點之間線段最短，可知：當E，P，Q三點共線時，PE+PF=PE+PQ最小，最小值為線段EQ長，即可.

（1）∵點D與OA的中點重合，

∴θ=，a=OA=2OC=2×8=16，

∴這個操作過程為FZ[45°，16]；

（2）延長MD、OA，交于點N，如圖2．

∵∠AOC＝∠BCO＝90°，

∴∠AOC+∠BCO＝180°，

∴BC∥OA，

∴∠B＝∠DAN．

在△BDM和△ADN中，

，

∴△BDM≌△ADN（ASA），

∴DM＝DN．

∵∠ODM＝∠OCM＝90°，

∴根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得OM＝ON，

∴根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠MOD＝∠NOD．

由折疊可得∠MOD＝∠MOC＝θ，

∴∠COA＝3θ＝90°，

∴θ＝30°

（3）①過點B作BH⊥OA于點H，如圖3．

∵∠COA＝90°，∠COF＝45°，

∴∠FOA＝45°．

∵點B與點E關于直線l對稱，

∴∠OFA＝∠OFB＝90°，

∴∠OAB＝45°，

∴∠HBA＝90°﹣45°＝45°＝∠HAB，

∴BH＝AH．

∵CO⊥OA，BH⊥OA，∴CO∥BH．

∵BC∥OA，∴四邊形BCOH是平行四邊形，

∴BH＝CO＝8，OH＝CB＝6，

∴OA＝OH+AH＝OH+BH＝6+8＝14．

∴a的值為14.

②過點F作OA的對稱點Q，連接AQ，EQ，如圖3，

則有∠QAO=∠FAO=45°，QA=FA，

∴∠QAF=90°，

在等腰RtBHA中，，

在等腰RtOFA中，，

∴BF=AB-AF=，

由折疊的性質(zhì)，可得：EF=BF=，

∴AE=AF-EF=.

在RtQAE中，.

根據(jù)兩點之間線段最短，可知：當E，P，Q三點共線時，PE+PF=PE+PQ最小，最小值為線段EQ長，

∴PE+PF的最小值為.