Question

【題目】（）如圖，中，，是上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于，把逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形．

（）如圖，等邊中，為邊上一點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上，且．

求證：．

（）已知：如圖，在中，，，為邊上一點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，已知，．寫(xiě)出求線段長(zhǎng)的具體思路（即添加輔助線的方法，推導(dǎo)的具體步驟詳寫(xiě)，其它的寫(xiě)出關(guān)鍵步驟或結(jié)果即可），并給出最后結(jié)果．

Answer 1

【答案】（）見(jiàn)解析；（）見(jiàn)解析；（）

【解析】

（1）根據(jù)要求作圖即可；

（2）延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使CF=BD，連結(jié)EF．易證△CEF為等邊三角形，得到EF=CF，∠F=60°，從而可證△ABD≌△DFE，即可得到結(jié)論．

（3）過(guò)點(diǎn)C作D′ M′⊥BC，并取CD′=CM′=BD=BM．連結(jié)DD′、MM′、DM′，得到DD′=DM′，∠D′ DC=∠M′ DC，由（1）（2）可得∠D′ DC=∠BAD=7.5°，故∠CDM′=7.5°，可證得△AMM′和△ADD′為等腰直角三角形，得到AD=AD′=1，AM=AM′，DD′==DM′，∠ADD′=45°，∠ADM′=45°+7.5°+7.5°=60°．過(guò)A作AE⊥DM′于點(diǎn)E，得到∠DAE=30°，由30°直角三角形的性質(zhì)得到DE，AE的長(zhǎng)，進(jìn)而得到EM′的長(zhǎng)，由勾股定理即可得到結(jié)論．

（）如圖，即為所求，

（）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連結(jié)．

∵為等邊三角形，

∴，

∴，

∴為等邊三角形．

∴．

∵，

∴，

又∵，

∴≌，

∴，得證．

（）過(guò)點(diǎn)作，并取，

連結(jié)、、，

則，

由（）（）可得，

∴，

由，

可證得≌≌，

所以和為等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

過(guò)作于點(diǎn)，

∴，

∴，

∴，

∴

．