如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)E,且AC⊥BD,∠ADB=∠CAD+∠ABD,∠BAD=3∠CBD.
(1)求證:△ABC為等腰三角形;
(2)M是線段BD上一點(diǎn),BM:AB=3:4,點(diǎn)F在BA的延長線上,連接FM,∠BFM的平分線FN交BD于點(diǎn)N,交AD于點(diǎn)G,點(diǎn)H為BF中點(diǎn),連接MH,當(dāng)GN=GD時,探究線段CD、FM、MH之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(1)證明:如圖1,作∠BAP=∠DAE=β,AP交BD于P,
設(shè)∠CBD=α,∠CAD=β,
∵∠ADB=∠CAD+∠ABD,∠APE=∠BAP+∠ABD,
∴∠APE=∠ADE,AP=AD.
∵AC⊥BD
∴∠PAE=∠DAE=β,
∴∠PAD=2β,∠BAD=3β.
∵∠BAD=3∠CBD,
∴3β=3α,β=α.
∵AC⊥BD,
∴∠ACB=90°﹣∠CBE=90°﹣α=90°﹣β.
∵∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=90°﹣β,
∴∠ACB=∠ABC,
∴△ABC為等腰三角形;
(2)2MH=FM+CD.
證明:如圖2,
由(1)知AP=AD,AB=AC,∠BAP=∠CAD=β,
∴△ABP∽△ACD,
∴∠ABE=∠ACD.
∵AC⊥BD,
∴∠GDN=90°﹣β,
∵GN=GD,
∴∠GND=∠GDN=90°﹣β,
∴∠NGD=180°﹣∠GND﹣∠GDN=2β.
∴∠AGF=∠NGD=2β.
∴∠AFG=∠BAD﹣∠AGF=3β﹣2β=β.
∵FN平分∠BFM,
∴∠NFM=∠AFG=β,
∴FM∥AE,
∴∠FMN=90°.
∵H為BF的中點(diǎn),
∴BF=2MH.
在FB上截取FR=FM,連接RM,
∴∠FRM=∠FMR=90°﹣β.
∵∠ABC=90°﹣β,
∴∠FRM=∠ABC,
∴RM∥BC,
∴∠CBD=∠RMB.
∵∠CAD=∠CBD=β,
∴∠RMB=∠CAD.
∵∠RBM=∠ACD,
∴△RMB∽△DAC,
∴,
∴BR=CD.
∵BR=BF﹣FR,
∴FB﹣FM=BR=CD,
FB=FM+CD.
∴2MH=FM+CD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
若一個正n邊形的每個內(nèi)角為156°,則這個正n邊形的邊數(shù)是( �。�
| A. | 13 | B. | 14 | C. | 15 | D. | 16 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,以點(diǎn)P(﹣1,0)為圓心的圓,交x軸于B、C兩點(diǎn)(B在C的左側(cè)),交y軸于A、D兩點(diǎn)(A在D的下方),AD=2,將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°,得到△MCB.
(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)請在圖中畫出線段MB、MC,并判斷四邊形ACMB的形狀(不必證明),求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)動直線l從與BM重合的位置開始繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn),到與BC重合時停止,設(shè)直線l與CM交點(diǎn)為E,點(diǎn)Q為BE的中點(diǎn),過點(diǎn)E作EG⊥BC于G,連接MQ、QG.請問在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小是否變化?若不變,求出∠MQG的度數(shù);若變化,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
在一個不透明的口袋中,有四個完全相同的小球,把它們分別標(biāo)號為1、2、3、4,隨機(jī)地摸取一個小球記下標(biāo)號后放回,再隨機(jī)地摸取一個小球記下標(biāo)號,則兩次摸取的小球標(biāo)號都是1的概率為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
君暢中學(xué)計劃購買一些文具送給學(xué)生,為此學(xué)校決定圍繞“在筆袋、圓規(guī)、直尺、鋼筆四種文具中,你最需要的文具是什么?(必選且只選一種)”的問題,在全校滿園內(nèi)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)以上信息回答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中,最需要圓規(guī)的學(xué)生有多少名?并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(2)如果全校有970名學(xué)生,請你估計全校學(xué)生中最需要鋼筆的學(xué)生有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓O上一點(diǎn),OQ⊥BC于點(diǎn)Q,過點(diǎn)B作半圓O的切線,交OQ的延長線于點(diǎn)P,PA交半圓O于R,則下列等式中正確的是( �。�
A. = B. = C. = D. =
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,AB是eO的直徑,C是»AB的中點(diǎn),eO的切線BD交AC的延長線于點(diǎn)D,E 是OB的中點(diǎn),CE的延長線交切線BD于點(diǎn)F,AF交eO于點(diǎn)H,連接BH.
(1)求證:AC=CD;
(2)若OB=2,求BH的長.
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