Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠BAC＝90°．動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1 cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動．設點P的運動時間為t s，四邊形APQC的面積為y cm2．

（1）當t為何值時，△PBQ是直角三角形?

（2）①求y與t的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍；

②當t為何值時，y取得最小值？最小值為多少？

（3）設PQ的長為x cm，試求y與x的函數(shù)關系式．

 

Answer 1

【答案】

（1）當t＝或時，△PBQ是直角三角形；（2）①y ＝8－（0≤t≤4），②當t＝2時，y取得最小值，最小值是；（3）y ．

【解析】

試題分析：（1）分∠PQB＝90°和∠QPB＝90°兩種情況討論即可；

（2）根據(jù)三角形的面積公式列式y ＝S△ABC －S△BPQ即得函數(shù)關系式，根據(jù)二次函數(shù)最值原理即可得出y取得最小值時t的值和y的最小值；

（3）把t2－4 t＝代入y ＝8－化簡即可.

試題解析：（1）當t＝或時，△PBQ是直角三角形，理由如下：

∵BQ＝AP＝t， BP＝4－t，

∴①當∠PQB＝90°時，由得： t ＝4－t，解得：t＝；

②當∠QPB＝90°時，由得：，解得：t＝.

∴當t＝或時，△PBQ是直角三角形.

（2）①過P作PH⊥BC，在Rt△PHB中，BP＝4－t ，PH＝，

∴S△BPQ＝，

∴y ＝S△ABC －S△BPQ＝8－.

由題意可知：0≤t≤4 .

②y＝8－＝，

∴當t＝2時，y取得最小值，最小值是．

（3）在Rt△PQH中，PH＝（4－t），HQ＝（4－t）－t，

由PQ2＝ PH2＋HQ2，則x2＝〔（4－t）〕2＋〔（4－t）－t〕2

化簡得：x2＝（2＋）t 2－4（2＋）t＋16，∴ t2－4 t＝.

將t2－4t＝代入y ＝8－，得y ＝8＋·．

考點：1.雙動點問題；2.由實際問題列函數(shù)關系式；3.二次函數(shù)的性質(zhì)；4. 直角三角形的判定；5.勾股定理；6.分類思想、轉(zhuǎn)換思想和整體思想的應用.