Question

如圖，⊙O的圓心在x軸上，與坐標(biāo)軸交于A（0，2）、B（，0），若拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為P．
（1）求出拋物線的關(guān)系式；
（2）拋物線的頂點(diǎn)P是否在圓上？
（3）若⊙O與y軸的另一交點(diǎn)為D，則由線段PA、線段PD及弧ABD形成的封閉圖形PABD的面積為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）知A，B兩點(diǎn)代入二次函數(shù)式求其解析式；
（2）知道二次函數(shù)式求其頂點(diǎn)坐標(biāo)，在Rt△AMO中，由勾股定理求得OA=OB，即圓點(diǎn)O坐標(biāo)，從而確定．
（3）連接OD，又點(diǎn)O在拋物線的對(duì)稱軸上，得OP∥y軸，又得S_△OAD=S_△PAD，由線段PA、線段PD及弧ABD形成的面積，在Rt△AMO中，利用三角函數(shù)求得角AOM為60°，從而求得．
解答：解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，
有，
解得，
∴；

（2）由得，
頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，），
在Rt△AMO中，OA²-OM²=AM²，AM=，BM=1，
故有OA²-（OA-1）²=3，
∴OA=2
∴OB=2，OM=1，即點(diǎn)O的坐標(biāo)為（1，0）．
∴OP=＞2，
∴頂點(diǎn)P在圓外；

（3）連接OD，∵點(diǎn)O在拋物線的對(duì)稱軸上，
∴OP∥y軸，
∴S_△OAD=S_△PAD，
∴由線段PA、線段PD及弧ABD形成的封閉圖形PABD的面積=扇形OAD的面積．
∵在Rt△AMO中，sin∠AOM=，
∴∠AOM=60°．
∴封閉圖形PABD的面積=（平方單位）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了知道二次函數(shù)上的兩點(diǎn)求函數(shù)式，考查了拋物線的頂點(diǎn)以及將其代入圓中符合即其頂點(diǎn)在圓上，考查了圓與直線所構(gòu)成圖形面積的求值．