Question

如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在AB、BC、CD、AD邊上且AE=CG，AH=CF．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）如果AB=AD，且AH=AE，求證：四邊形EFGH是矩形．

Answer 1

【答案】分析：（1）易證得△AEH≌△CGF，從而證得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形而得證．
（2）由題意知，平行四邊形ABCD是菱形，連接AC，BD，則有AC⊥BD，由AB=AD，且AH=AE可證得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由1知四邊形HGFE是平行四邊形，故四邊形HGFE是矩形．
解答：證明：（1）在平行四邊形ABCD中，∠A=∠C，（1分）
又∵AE=CG，AH=CF，
∴△AEH≌△CGF．（2分）
∴EH=GF．（1分）
在平行四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，
即BE=DG，DH=BF．
又∵在平行四邊形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．（1分）
∴GH=EF．（1分）
∴四邊形EFGH是平行四邊形．（1分）

（2）解法一：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．
設(shè)∠A=α，則∠D=180°-α．
∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．（1分）∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，
∴AD-AH=CD-CG，即DH=DG．（1分）
∴∠DHG=∠DGH=．（1分）
∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°．（1分）
又∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴四邊形EFGH是矩形．（1分）

解法二：連接BD，AC．
∵AH=AE，AD=AB，
∴，∴HE∥BD，（1分）
同理可證，GH∥AC，（1分）
∵四邊形ABCD是平行四邊形且AB=AD，
∴平行四邊形ABCD是菱形，（1分）
∴AC⊥BD，∴∠EHG=90°．（1分）
又∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴四邊形EFGH是矩形．（1分）
點(diǎn)評(píng)：本題利用了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定求解．