Question

【題目】已知△ABC，△EFG均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn)． （Ⅰ）如圖①，這兩個(gè)等邊三角形的高為；
（Ⅱ）如圖②，直線AG，F(xiàn)C相交于點(diǎn)M，當(dāng)△EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段BM長(zhǎng)的最小值是 ．

Answer 1

【答案】2 ；2 -2
【解析】解：（Ⅰ）如圖①中，連接AD，
∵△ABC是等邊三角形，BD=CD，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∵AB=4，BD=2，
∴AD= = =2 ，
所以答案是2 ．
（Ⅱ）如圖①中，連接AE、EC、CG．
∵DE=DF=DC，
∴△EFC是直角三角形，
∴∠ECF=90°，
∵∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE=∠GDC，
在△ADE和△GDC中，
，
∴△ADE≌△GDC，
∴AE=CG，∠DAE=∠DGC，
∵DA=DG，
∴∠DAG=∠DGA，
∴∠GAE=∠AGC，
∵AG=GA，
∴△AGE≌△GAC，
∴∠GAK=∠AGK，
∴KA=KG，∵AC=EG，
∴EK=KC，
∴∠KEC=∠KCE，
∵∠AKG=∠EKC，
∴∠KAG=∠KCE，
∴EC∥AG，
∴∠AMF=∠ECF=90°，
∴點(diǎn)M在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
如圖②中，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到BM⊥AC時(shí)，BM最短，

∵OB=2 ，AO=OM=OC=2，
∴BM的最小值為2 ﹣2．
所以答案是2 ﹣2．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°，以及對(duì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的理解，了解①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了．