Question

如圖，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M是邊AB的中點(diǎn)，E、G分別是邊AC、BC上的一點(diǎn)，∠EMG=45°，AC與MG的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．
（1）在不添加字母和線段的情況下寫出圖中一定相似的三角形，并證明其中的一對(duì)；
（2）連接結(jié)EG，當(dāng)AE=3時(shí)，求EG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，從而可得到∠A=∠B=45°，再根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠AEM=∠BMG，從而可根據(jù)有兩組角相等的兩個(gè)三角形相似，得到△AEM∽△BMG，同理可證明△FEM∽△FMA．
（2）根據(jù)勾股定理可求得AB的長(zhǎng)，從而可得到AM，BM的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)相似比即可求得EG的長(zhǎng)．

解答：解：（1）一定相似的三角形：△AEM∽△BMG，△FEM∽△FMA，（2分）
以下證明△AEM∽△BMG
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°．（1分）
∵∠EMB=∠EMG+∠GMB=∠A+∠AEM，
∵∠EMG=45°，
∴∠AEM=∠BMG．（1分）
∴△AEM∽△BMG．（2分）

（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=4

2

．（1分）
∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，
∴AM=BM=2

2

．
∵△AME∽△BGM，
∴

AE

BM

=

AM

BG

∴

3

2 2

=

2 2

BG

．
∴BG=

8

3

．（2分）
∴CG=4-

8

3

=

4

3

，CE=4-3=1．（2分）
∴EG=

CE2+CG2

=

5

3

．（1分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定及性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的掌握情況．