Question

（2012•山西）綜合與實踐：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點．
（1）求直線AC的解析式及B、D兩點的坐標；
（2）點P是x軸上一個動點，過P作直線l∥AC交拋物線于點Q，試探究：隨著P點的運動，在拋物線上是否存在點Q，使以點A、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）請在直線AC上找一點M，使△BDM的周長最小，求出M點的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式可得出A、B、C、D的坐標，設(shè)AC解析式為y=k₁x+b₁（k₁≠0），利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）先根據(jù)題意結(jié)合圖形，畫出點P和點Q的位置，然后利用平行線的性質(zhì)，及拋物線上點的坐標特點可求出三個Q的坐標．
（3）因為BD的長固定，要使△BDM的周長最小，只需滿足BM+DM的值最小即可，作點B關(guān)于AC的對稱點B'，連接B'D，則與AC交點即是點M的位置，然后利用相似三角形的性質(zhì)求出B'的坐標，得出B'D的解析式，繼而聯(lián)立AC與B'D的解析式可得出點M的坐標．

解答：解：（1）當y=0時，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3．
∵點A在點B的左側(cè)，
∴A、B的坐標分別為（-1，0），（3，0）．
當x=0時，y=3．
∴C點的坐標為（0，3）
設(shè)直線AC的解析式為y=k₁x+b₁（k₁≠0），
則

b1=3 -k1+b1=0

，
解得

k1=3 b1=3

，
∴直線AC的解析式為y=3x+3．
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點D的坐標為（1，4）． 

（2）拋物線上有三個這樣的點Q，

①當點Q在Q1位置時，Q1的縱坐標為3，代入拋物線可得點Q1的坐標為（2，3）；
②當點Q在點Q2位置時，點Q2的縱坐標為-3，代入拋物線可得點Q2坐標為（1+

7

，-3）；
③當點Q在Q3位置時，點Q3的縱坐標為-3，代入拋物線解析式可得，點Q3的坐標為（1-

7

，-3）；
綜上可得滿足題意的點Q有三個，分別為：Q₁（2，3），Q₂（1+

7

，-3），Q₃（1-

7

，-3）． 

（3）過點B作BB′⊥AC于點F，使B′F=BF，則B′為點B關(guān)于直線AC 的對稱點．連接B′D交直線AC于點M，則點M為所求，
過點B′作B′E⊥x軸于點E．
∵∠1和∠2都是∠3的余角，
∴∠1=∠2．
∴Rt△AOC∽Rt△AFB，
∴

CO

BF

=

CA

AB

，
由A（-1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，
∴AC=

10

，AB=4．
∴

3

BF

=

10

4

，
∴BF=

12

10

，
∴BB′=2BF=

24

10

，
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，
∴

AO

B′E

=

CO

BE

=

CA

BB′

，
∴

1

B′E

=

3

BE

=

10

24 10

，即

1

B′E

=

3

BE

=

5

12

．
∴B′E=

12

5

，BE=

36

5

，
∴OE=BE-OB=

36

5

-3=

21

5

．
∴B′點的坐標為（-

21

5

，

12

5

）．
設(shè)直線B′D的解析式為y=k₂x+b₂（k₂≠0）．
∴

k2+b2=4 - 21 5 k2+b2= 12 5

，
解得

k2= 4 13 b2= 48 13

，
∴直線B'D的解析式為：y=

4

13

x+

48

13

，
聯(lián)立B'D與AC的直線解析式可得：

y=3x+3 y= 4 13 x+ 48 13

，
解得

x= 9 35 y= 132 35

，
∴M點的坐標為（

9

35

，

132

35

）．

點評：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解答本題需要我們熟練各個知識點的內(nèi)容，認真探究題目，謹慎作答．