Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，拋物線 的對稱軸為直線 ，頂點為A．

（1）求拋物線的表達式及頂點A的坐標；
（2）點P為拋物線對稱軸上一點，聯(lián)結(jié)OA、OP．
①當OA⊥OP時，求OP的長；
②過點P作OP的垂線交對稱軸右側(cè)的拋物線于點B，聯(lián)結(jié)OB，當∠OAP=∠OBP時，求點B的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解： 拋物線 的對稱軸為直線 ， ．
頂點A的坐標為（2，1）
（2）解：設(shè)對稱軸與 軸的交點為E．①如圖，

在直角三角形AOE和直角三角形POE中，
;
②如圖，過點B作AP的垂線，垂足為F，

設(shè)點 ，
在 和 中，

整理得： 解得 （舍）．
【解析】（1）拋物線 y = a x 2 + x 的對稱軸為直線 x = 2可列關(guān)于a的方程，拋物線的表達式可求；根據(jù)拋物線的頂點坐標公式可求頂點A的坐標；（2）①在直角三角形AOE和直角三角形POE中，根據(jù)已知條件可證兩個三角形相似，從而得到成比例線段，OP的長可求；②過點B作AP的垂線，垂足為F，可證△BPF△PO，從而得到成比例線段，a的值可求，點B的坐標亦可求。
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．