Question

如圖，正方形ARCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，P是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不運(yùn)動(dòng)到M，C），以AB為直徑作⊙O，過(guò)點(diǎn)P的切線交AD于點(diǎn)F，切點(diǎn)為E．
（1）求四邊形CDFP的周長(zhǎng)．
（2）連接OF，OP，求證：OF⊥OP．

Answer 1

分析：（1）由ABCD為正方形，得到∠A與∠B都為直角，根據(jù)切線的判斷方法，得到AD與BC都為圓的切線，又PF為圓O的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理即可得到FE=FA，PE=PB，根據(jù)等量代換的方法得到四邊形CDFP的周長(zhǎng)等于AD+BC+CD，根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)為2，求出周長(zhǎng)即可；
（2）連接OF，OP，OE，由AF，BP是⊙O的切線，PF是⊙O的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理即可得∠EOF=∠AOF，∠EOP=∠BOP，又由∠AOF+∠EOF+∠EOP+∠BOP=180°，即可證得OF⊥OP．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴AF，BP是⊙O的切線，
又∵PF是⊙O的切線，
∴FE=FA，PE=PB，
∴四邊形CDFP的周長(zhǎng)為：CD+DF+EF+CP=AD+DC+CB=6；

（2）證明：連接OF，OP，OE，
∵AF，BP是⊙O的切線，PF是⊙O的切線
∴∠EOF=∠AOF，∠EOP=∠BOP，
∵∠AOF+∠EOF+∠EOP+∠BOP=180°，
∴2∠FOE+2∠EOP=180°，
∴∠EOF+∠EOP=90°，
∴OF⊥OP．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，涉及到切線長(zhǎng)定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．