Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．

（1）求證：BD平分∠ABC；

（2）若∠DAC=45°，OA=1，求OC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）

【解析】試題分析：

(1)由題設(shè)可知△ABC，△ABD是等腰三角形，證明AD∥BC，再由基本圖形“平行線+等腰三角形→角平分線”求證.

(2)可條件可證∠BAC=90°，又因?yàn)?/span>BD平分∠ABC，故聯(lián)想過點(diǎn)O作OE⊥BC，得等腰直角△ECO，由角平分線的性質(zhì)定理得OE=OA，即可求解.

試題解析：

(1)因?yàn)?/span>AB=AC，AB=AD，所以∠ABC=∠ACB，∠ABD=∠ADB.

因?yàn)椤螪AC=∠ABC，所以∠DAC=∠ACB，

所以AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD，

所以∠ABD=∠CBD，所以BD平分∠ABC.

(2)過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E.

因?yàn)?/span>∠DAC=45°，所以∠ABC=∠ACB=45°，所以∠BAC=90°.

因?yàn)锽D平分∠ABC，所以O(shè)A=OE.

在Rt△OCE中，OE=CE=OA=1，所以O(shè)C=.