Question

如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD 放置在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O 重合，點(diǎn)B在x軸上．將正方形ABCD沿x軸正方向作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D第一次落在x軸上時(shí)，D點(diǎn)的坐標(biāo)是

 

，D點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)度是

 

；當(dāng)點(diǎn)D第2014次落在x軸上時(shí)，D點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)度是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算,坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)

專題：規(guī)律型

分析：由題意可知，將正方形ABCD沿x軸正方向作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D第一次落在x軸上時(shí)，D點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0）；D點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)度=圓心角為90°，半徑為

2

的弧長(zhǎng)+圓心角為90°，半徑為1的弧長(zhǎng)；由于正方形ABCD每滾動(dòng)4次為一個(gè)周期，每一個(gè)周期點(diǎn)D落在x軸上一次，進(jìn)而求出點(diǎn)D第2014次落在x軸上時(shí)，D點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)度．

解答：解：如圖，正方形ABCD每滾動(dòng)4次為一個(gè)周期，
當(dāng)點(diǎn)D第一次落在x軸上時(shí)，正方形ABCD滾動(dòng)2次，D點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0）；
D點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)度是

90π× 2

180

+

90π×1

180

=

2 +1

2

π；
每一個(gè)周期中D點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)度是

90π× 2

180

+

90π×1

180

×2=（

2

2

+1）π，
當(dāng)點(diǎn)D第2014次落在x軸上時(shí)，D點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)度是：2013（

2

2

+1）π+

2 +1

2

π=（1007

2

+

4027

2

）π．
故答案為（3，0）；

2 +1

2

π；（1007

2

+

4027

2

）π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算，難度適中．理解題意，得出正方形ABCD每滾動(dòng)4次為一個(gè)周期是解題的關(guān)鍵．