Question

（2011•晉江市質檢）如圖，拋物線y=-

1

4

x2-

3

2

x+c與x軸交于A、B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點C，OC=4．
（1）直接填空：c=______；
（2）點Q是拋物線上一點，且橫坐標為-4．
①若線段BQ的中點為M，如圖1，連接CM，求證：CM⊥BQ；
②如圖2，點P是y軸上一個動點，是否存在這樣的點P，使得△BPQ是直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由條件根據拋物線的解析式可以求出C點的坐標，然后再代入拋物線的解析式就可以求出c值．
（2）①根據已知條件可以求出Q點的坐標，再連接CQ、BC，利用勾股定理求出BC、QC的長，從而證明△QBC為等腰三角形，根據等腰三角形的性質可以證明結論．
②使得△BPQ是直角三角形分三種情況：當∠BQP=90°、∠QBP=90°、∠QPB=90°時，設出點P的坐標，利用勾股定理就可以求出結論．

解答：解：（1）∵OC=4．
∴C（0，4），且C點在y=-

1

4

x2-

3

2

x+c上，
∴c=4
故答案為：4

（2）①連接CQ、BC．
由（1）得：c=4，則拋物線的解析式是y=-

1

4

x2-

3

2

x+4．
∵點Q在拋物線上，且橫坐標為-4，
∴當x=-4時，y=6，
∴點Q坐標為（-4，6）．
連接QC、BC，作QT⊥y軸于點T，如圖．
令y=0，則-

1

4

x2-

3

2

x+4=0，解得：x₁=2或x₂=-8，則OB=2
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC²=OB²+OC²=2²+4²=20
在Rt△QTC中，由勾股定理得：QC²=QT²+CT²=4²+（6-4）²=20
∴BC=QC，即△BCQ是等腰三角形．
又點M為線段BQ的中點，
∴CM⊥BQ．
②存在．理由如下：
設P的坐標為（0，n），在△BPQ中，
若∠BQP=90°，由勾股定理得：PQ²+BQ²=BP²，
∴4²+（n-6）²+6²+（2+4）²=2²+n²，解得n=10，
此時點P的坐標為P₁（0，10）．…（9分）
若∠QBP=90°，由勾股定理得：PQ²=BQ²+BP²，
∴4²+（6-n）²=6²+（2+4）²+2²+n²，解得n=-2，
此時點P的坐標為P₂（0，-2）．…（10分）
若∠QPB=90°，由勾股定理得：BQ²=BP²+PQ²
∴6²+（2+4）²=4²+（n-6）²+2²+n²，解得n1=3+

17

，n2=3-

17

∴點P的坐標為P3(0， 3+

17

)或P4(0， 3-

17

)．
綜上，存在這樣的點P，使得△BPQ是直角三角形，點P的坐標為：
（0，10）、（0，-2）、(0， 3+

17

)或(0， 3-

17

)．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了二次函數的性質，待定系數法求一次函數的解析式，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，勾股定理的運用．