Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠B=90°，點M、N分別在邊BA、BC上，且BM=BN．
（1）畫出直角三角形ABC關于直線MN對稱的三角形A′B′C′；
（2）如果AB=a，BC=b，BM=x，用a、b、x的代數(shù)式分別表示三角形AMA'的面積S₁和四邊形AA′C′C的面積S，并化簡．

Answer 1

分析：（1）作出點A、B、C關于直線MN的對稱點A′、B′、C′，然后順次連接即可；
（2）先判斷出△AMA′是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的面積等于直角邊的平方的一半列式進行計算即可得解；
再根據(jù)四邊形AA′C′C的面積S=△AMA′的面積+△CNC′的面積+△ABC的面積+△A′B′C′的面積-正方形BNB′M的面積，然后列式進行計算即可得解．

解答：解：（1）△A′B′C′如圖所示；

（2）∵∠B=90°，BM=BN，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴△AMA′是等腰直角三角形，
∴△AMA'的面積S₁=

1

2

（a-x）²=

1

2

a²-ax+

1

2

x²；
四邊形AA′C′C的面積S=△AMA′的面積+△CNC′的面積+△ABC的面積+△A′B′C′的面積-正方形BNB′M的面積，
=

1

2

（a-x）²+

1

2

（b-x）²+

1

2

ab+

1

2

ab-x²，
=

1

2

a²+

1

2

b²-ax-bx+ab．

點評：本題考查了利用軸對稱變換作圖，等腰直角三角形的判定與性質，三角形的面積，把四邊形的面積分成四個三角形的面積和減去正方形的面積是解題的關鍵，也是本題的難點．