Question

（1）已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象開口向下，并經(jīng)過點（-1，2），（1，0）．下列命題其中一定正確的是______．
（把你認為正確結(jié)論的序號都填上，少填或錯填不給分）．
①當x≥0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大
②當x≤0時，函數(shù)值y隨x的增大而減小
③存在一個正數(shù)m，使得當x≤m時，函數(shù)值y隨x的增大而增大；當x≥m時，函數(shù)值y隨x的增大而減小
④存在一個負數(shù)m，使得當x≤m時，函數(shù)值y隨x的增大而增大；當x≥m時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，
⑤a+2b＞-2c
（2）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A坐標為（2，4），直線x=2與x軸相交于點B，連接OA，拋物線y=x²從點O沿OA方向平移，與直線x=2交于點P，頂點M到A點時停止移動．
請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點M，使得線段PB最短；若存在，請求出此時點M的坐標．若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將兩點的坐標代入拋物線的解析式中，可得a+c=1，b=-1．因此a+2b+2c=a-2+2（1-a）=-a，由于拋物線開口向下，因此a＜0，所以a+2b+2c＞0，即a+2b＞-2c．所以⑤成立．
已得出拋物線的解析式為y=ax²-x+1-a，拋物線的對稱軸為x=，a＜0，因此拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)．
因此x≥0時，y隨x的增大而減�。�
當x≤時，y隨x的增大而增大．
當＜x＜0時，y隨x的增大而減�。�
∴④⑤正確，而①②③錯誤．
（2）可先求出直線OA的解析式，然后根據(jù)直線OA的解析式設(shè)出M點的坐標，由于M是拋物線的頂點，可用頂點式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線的解析式，然后將x=2代入拋物線的解析式中，即可求出P點的縱坐標即PB長的表達式，可根據(jù)此函數(shù)的性質(zhì)來求出PB的最大值及對應的M的坐標．
解答：解：
（1）④⑤

（2）設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x
∵設(shè)頂點M的橫坐標為m，且在線段OA上移動，
∴y=2m（0≤m≤2）．
∴頂點M的坐標為（m，2m），
∴拋物線函數(shù)解析式為y=（x-m）²+2m．
∴當x=2時，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4（0≤m≤2）．
∴點P的坐標是（2，m²-2m+4）．
∵PB=m²-2m+4=（m-1）²+3，
又∵0≤m≤2，
∴當m=1時，PB最短．
∴頂點M的坐標為（1，2）．
點評：本題考查二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象交點等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．