【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD= AB,∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,DH⊥AE于點(diǎn)H,連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F,連接DE交BF于點(diǎn)O,下列結(jié)論:①∠AED=∠CED;②AB=HF,③BH=HF;④BC﹣CF=2HE;⑤OE=OD;其中正確結(jié)論的序號(hào)是
【答案】①③⑤
【解析】解:∵在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,∴AE= AB,∵AD= AB,∴AE=AD,
在△ABE和△AHD中,
∴△ABE≌△AHD(AAS),
∴BE=DH,∴AB=BE=AH=HD,∴∠ADE=∠AED=
∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°,∴∠AED=∠CED,故①正確;
∵AB=AH,∠BAE=45°,∴△ABH不是等邊三角形,∴AB≠BH,∴即AB≠HF,故②錯(cuò)誤;
∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°,∴∠EBH=∠OHD,
在△BEH和△HDF中,
∴△BEH≌△HDF(ASA),∴BH=HF,HE=DF,故③正確;
∵HE=AE-AH=BC-CD,∴BC-CF=BC-(CD-DF)=BC-(CD-HE)=(BC-CD)+HE=HE+HE=2HE.故④正確;
∵AB=AH,∵∠AHB= ∠OHE=∠AHB(對(duì)頂角相等),
∴∠OHE=67.5°=∠AED,∴OE=OH,∵∠DHO=90°-67.5°=22.5°,∠ODH=67.5°-45°=22.5°,∴∠DHO=∠ODH,∴OH=OD,∴OE=OD=OH,故⑤正確;
綜上所述,結(jié)論正確的是①③④⑤共4個(gè).
故答案為①③④⑤.
①根據(jù)角平分線的定義可得∠BAE=∠DAE=45°,可得出△ABE是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=AB,從而得AE=AD,然后利用“角角邊”證明△ABE和△AHD全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DH,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等∠ADE=∠AED=67.5°,根據(jù)平角等于180°求出∠CED=67.5°,從而判斷出①正確;
②判斷出△ABH不是等邊三角形,從而得到AB≠BH,即AB≠HF,得到②錯(cuò)誤.
③求出∠EBH=∠OHD=22.5°,∠AEB=∠HDF=45°,然后利用“角邊角”證明△BEH和△HDF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BH=HF,判斷出③正確;
④根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=HE,然后根據(jù)HE=AE-AH=BC-CD,BC-CF==2HE.判斷出④正確;
⑤求出∠AHB=67.5°,∠DHO=∠ODH=22.5°,然后根據(jù)等角對(duì)等邊可得OE=OD=OH,判斷出⑤正確.
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A.
B.
C.
D.
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