Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），直線l與x軸正半軸夾角為30°，點(diǎn)B為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長AB至點(diǎn)C，使得AB=BC，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線l于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AE∥l交直線CD于點(diǎn)E．

(1)、若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為6，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(______，_____)，DE的長為 ；

(2)、若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)大于3，則線段CF的長度是否發(fā)生改變？若不變，請(qǐng)求出線段CF的長度；若改變，請(qǐng)說明理由；

(3)、連結(jié)BE，在點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過程中，以O(shè)B為直徑的⊙P與△ABE某一邊所在的直線相切，請(qǐng)求出所有滿足條件的DE的長．

Answer 1

【答案】(1)、C(9，)；DE=；(2)、證明過程見解析；(3)、DE的長為或或

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)題意求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及DE的長度；(2)、過點(diǎn)A作AM⊥x軸于M，根據(jù)tan∠BOA的值求出AM的長度，然后證明△ABM和△CBF全等，從而得出CG=AM；(3)、本題需要分三種情況進(jìn)行分類計(jì)算，首先分別畫出圖形，然后分別進(jìn)行計(jì)算.

試題解析：(1)、C(9，) , DE=;

(2)、如圖（1），過點(diǎn)A作AM⊥x軸于M ，∴∠OAM=90°, ∠BOA=30°, ∴AM=OAtan∠BOA=．

∵B為AC的中點(diǎn)， ∴AB=BC 又∵AM∥CF, ∴∠AMB=∠CFB ，∠MAB=∠FCB,

∴△ABM≌△CBF ∴CF=AM=． ∴線段CF的長度保持不變．

(3)、如圖1，過點(diǎn)B作BG⊥x軸于點(diǎn)G．易證， OB=2BG ,CD=2BG,

∴OB=CD．

(I)當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，⊙P只能與BE相切，如圖2．

設(shè)DE=, 則OB=CD=． ∵⊙P與BE相切于點(diǎn)B，

∴OB⊥BE． 易得BF=EF=．

∴OF=OB+BF=． ∴OF=2DF, ∴=．

解得． ∴ DE=．

（II）當(dāng)點(diǎn)D在線段OA上時(shí)，①若⊙P與直線AE相切，如圖3，

易得，直線l與AE的距離是． ∴ OB=3． ∴ CD=3． ∴DE=2CF-CD=．

②當(dāng)⊙P與AB相切，如圖4． ∴∠OBA=90°． ∴OB=OAtan∠OBA=. ∴CD=.

∴ DE=2CF-CD==．

(III)當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)O的左側(cè)時(shí)，⊙P只能與直線AE相切，如圖5 ∵ 直線l與AE的距離是，

∴ OB=3．∴ CD=3． ∴ DE=2CF+CD=．

綜上所述，DE的長為或或 ．