Question

18．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，點D，E分別在邊BC，AB上，連接AD，ED，且∠BDE=∠ADC，過E作EF⊥AD交邊AC于點F，連接DF．
（1）求證：∠AEF=∠BED；
（2）過A作AG∥ED交BC的延長線于點G，設(shè)CD=x，CF=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當△DEF是以DE為腰的等腰三角形時，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，設(shè)AD與EF交于點O．首先證明∠AFE=∠EDB，∠FAE=∠B，由∠CAB+∠AFE+∠AEF=180°，∠B+∠BDE+∠DEB=180°，即可證明．
（2）如圖2中，過A作AG∥ED交BC的延長線于點G．是怎么CG=CD，由DE∥AG，推出$\frac{AE}{EB}$=$\frac{DG}{BD}$，由△AEF∽△BED，推出$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AF}{BD}$，推出$\frac{DG}{BD}$=$\frac{AF}{BD}$，推出DG=AF即可解決問題．
（3）分兩種情形求解即可①如圖3中，當DE=DF時，易知AD垂直平分線段EF，作DH⊥AB于H．列出方程求解．②當DE=EF時，由△AEF∽△BED，推出AF=BD，CF=CD，即x=y，由此即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，設(shè)AD與EF交于點O．

∵AD⊥EF，
∴∠FOD=∠C=90°，
∴∠CDA+∠CFO=180°，∵∠CFO+∠AFE=180°，
∴∠AFE=∠ADC=∠ADB，
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵∠CAB+∠AFE+∠AEF=180°，∠B+∠BDE+∠DEB=180°，
∴∠AEF=∠BED．

（2）如圖2中，過A作AG∥ED交BC的延長線于點G．

∵DE∥AG，
∴∠G=∠BDE，∵∠BDE=∠ADG，
∴∠G=∠ADG，
∴AG=AD，∵AC⊥DG，
∴GC=CD=x，
∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{DG}{BD}$，
∵∠FAE=∠B，∠AEF=∠DEB，
∴△AEF∽△BED，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AF}{BD}$，
∴$\frac{DG}{BD}$=$\frac{AF}{BD}$，
∴DG=AF，
∴2x=2-y，
∴y=-2x+2．（0＜x≤1）．

（3）①如圖3中，當DE=DF時，易知AD垂直平分線段EF，作DH⊥AB于H．

∵DA平分∠CAB，DC⊥CA，DH⊥AB，
∴DC=DH=x，
∵∠B=∠HDB=45°，
∴BD=$\sqrt{2}$x，
∴x+$\sqrt{2}$x=2，
∴x=2$\sqrt{2}$-2，
∴CD=2$\sqrt{2}$-2．
②當DE=EF時，∵△AEF∽△BED，
∴AF=BD，CF=CD，
∴x=y，
∴x=-2x+2，
∴x=$\frac{2}{3}$，
∴CD=$\frac{2}{3}$．
∴當△DEF是以DE為腰的等腰三角形時，CD的長2$\sqrt{2}$-2或$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查相似三角形的綜合題、等腰三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，本題證明AF=DG是突破點，屬于中考壓軸題．