Question

設(shè)m是不小于﹣1的實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程x²+2（m﹣2）x+m²﹣3m+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂，

（1）若x₁²+x₂²=6，求m值；

（2）求的最大值．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系．

【分析】（1）首先根據(jù)根的判別式求出m的取值范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出符合條件的m的值．

（2）把利用根與系數(shù)的關(guān)系得到的關(guān)系式代入代數(shù)式，細(xì)心化簡，結(jié)合m的取值范圍求出代數(shù)式的最大值．

【解答】解：∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴△=b²﹣4ac=4（m﹣2）²﹣4（m²﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，

∴m＜1，

結(jié)合題意知：﹣1≤m＜1．

（1）∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂=4（m﹣2）²﹣2（m²﹣3m+3）=2m²﹣10m+10=6

∴，

∵﹣1≤m＜1，

∴；

（2）=

=（﹣1≤m＜1）．

∴當(dāng)m=﹣1時(shí)，式子取最大值為10．

【點(diǎn)評】本題的計(jì)算量比較大，需要很細(xì)心的求解．用到一元二次方程的根的判別式△=b²﹣4ac來求出m的取值范圍；利用根與系數(shù)的關(guān)系x₁+x₂=，x₁x₂=來化簡代數(shù)式的值．