Question

【題目】如圖1，點(diǎn)E是正方形ABCD邊CD上任意點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，連接BF．點(diǎn)M是線(xiàn)段BF中點(diǎn)，射線(xiàn)EM與BC交于點(diǎn)H，連接CM．

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出CM和EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系：__________；

(2)把圖1中的正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)E、G恰好分別落在線(xiàn)段AD、CD上，如圖2所示，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(3)若DG＝，AB＝4．

①把圖1中的正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，此時(shí)點(diǎn)F恰好落在線(xiàn)段CD上，連接EM，如圖3所示，其他條件不變，計(jì)算EM的長(zhǎng)度；

②若把圖1中的正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫(xiě)出EM的最大值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）成立，具體利用見(jiàn)解析；（3）①；②．

【解析】

（1）證明，得到HM=EM，根據(jù)等腰之間三角形的性質(zhì)即可得到；

（2）連接DF，MG，作于N，可證得，得到ME=MG，，再由M為BF的中點(diǎn)，，得到GN=NC，進(jìn)一步可得到，又，，再由角度的關(guān)系可得到，即可得到結(jié)論．

（3）①連接BE，CE，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可推出，，證明，進(jìn)一步可得到△CME是等腰直角三角形，根據(jù)之間三角形的性質(zhì)求解即可．

②由條件可證的△CME為等腰直角三角形，當(dāng)CE最大時(shí)，EM最大，當(dāng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至D點(diǎn)下方時(shí)，且C，D，E共線(xiàn)時(shí)CE最大，此時(shí)CE=，再根據(jù)勾股定理即可求解．

（1）結(jié)論：．

理由：如圖1中，

∵,，

∴，

在△FME和△BMH中，

，

∴，

∴HM=EM，EF=BH．

∵CD=BC，

∴CE=CH,

又∵，HM=EM，

∴．

（2）．

理由：如圖，連接DF，MG，作于N，

在△EDM和△GDM中，

，

∴，

∴ME=MG，，

∵M(jìn)為BF的中點(diǎn)，，

∴GN=NC，

又，

∴MC=ME，

∴MC=MG，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴（1）中結(jié)論成立．

（3）①解：如圖，連接BE，CE，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，

∵四邊形ABCD和四邊形EDGH是正方形，

∴，，

∴點(diǎn)B、E、D在同一條直線(xiàn)上，

∵，，M為BF的中點(diǎn)，

∴，，

∴CM=ME，

又∵，

∴，

，

∴，，

∴,

∴，

∴,

∴△CME是等腰直角三角形，，

在Rt△CME中，，，

∴EH=DH=1，

∴CH=4-1=3，

在Rt△CHE中，，

∴ ．

②由上問(wèn)可知一直成立，

∴△CME為等腰直角三角形，

∴當(dāng)CE最大時(shí)，EM最大，

當(dāng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至D點(diǎn)下方時(shí)，且C，D，E共線(xiàn)時(shí)CE最大，

此時(shí)CE=．

設(shè)CM=EM=x，

則，

解得，

∴EM的最大值為．