Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D，下列結(jié)論正確的有（ ）
①AD=BD=BC；
②△BCD∽△ABC；
③AD2=ACDC；
④點D是AC的黃金分割點．

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①由AB=AC，∠A=36°，得∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC交AC于點D，
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=36°=∠A，
∴AD=BD，
∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C，
∴BC=BD，
∴BC=BD=AD，
∴①正確；
②∵∠A=∠DBC，∠C=∠C，
∴△BCD∽△ABC，
∴②正確；
③∵△BCD∽△ACB，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC2=CDAC，
∵AD=BD=BC，AD2=CDAC，
∴③正確；
④設(shè)AD=x，AC=AB=1，CD=AC﹣AD=1﹣x，
由AD2=CDAC，得x2=（1﹣x），
解得x=± ﹣1（舍去負(fù)值），
∴AD= ，
∴④正確．
正確的有4個．
故選D．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和黃金分割的相關(guān)知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=0.618AB才能正確解答此題．