Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=x+4經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P．
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某位置時(shí)，以AP，AO為鄰邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)恰好也在拋物線上，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②如圖2，過(guò)點(diǎn)O，P的直線y=kx交AC于點(diǎn)E，若PE：OE=3：8，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=x+4經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣4，0），點(diǎn)C坐標(biāo)是（0，4），

又∵拋物線過(guò)A，C兩點(diǎn)，

∴ ，解得： ，

∴拋物線的解析式為 ．

（2）

解：①如圖1

∵ ，

∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=﹣1．

∵以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)Q恰好也在拋物線上，

∴PQ∥AO，PQ=AO=4．

∵P，Q都在拋物線上，

∴P，Q關(guān)于直線x=﹣1對(duì)稱(chēng)，

∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是﹣3，

∴當(dāng)x=﹣3時(shí)， ，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是 ；

②過(guò)P點(diǎn)作PF∥OC交AC于點(diǎn)F，

∵PF∥OC，

∴△PEF∽△OEC，

∴ ．

又∵ ，

∴ ，

設(shè)點(diǎn)F（x，x+4，

∴ ，

化簡(jiǎn)得：x2+4x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣3．

當(dāng)x=﹣1時(shí)， ；當(dāng)x=﹣3時(shí)， ，

即P點(diǎn)坐標(biāo)是 或 ．

又∵點(diǎn)P在直線y=kx上，

∴ ．

【解析】（1）由直線的解析式y(tǒng)=x+4易求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，把A和C的坐標(biāo)分別代入y=﹣ x2+bx+c求出b和c的值即可得到拋物線的解析式；（2）①若以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)Q恰好也在拋物線上，則PQ∥AO，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，由（1）中的拋物線解析式，進(jìn)而可求出其縱坐標(biāo)，問(wèn)題得解；
②過(guò)P點(diǎn)作PF∥OC交AC于點(diǎn)F，因?yàn)镻F∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等可求出PF的長(zhǎng)，進(jìn)而可設(shè)點(diǎn)點(diǎn)F（x，x+4），利用 ，可求出x的值，解方程求出x的值可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入直線y=kx即可求出k的值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．