Question

【題目】△ABC內(nèi)接于⊙O，I為其內(nèi)心，AI的延長線交⊙O于D,連OD交BC于E．

（1）求證： OD⊥ BC；

（2）若∠BOC=∠BIC，求∠BAC的度數(shù)；

（3）①若DE=2,BE=4，①求⊙O的半徑r．

②當(dāng)點(diǎn)A在優(yōu)弧BAC上移動(dòng)時(shí)，OI是否有最小值，如有請(qǐng)求出最小值，如沒有請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）60°（3）①5 ②

【解析】

（1）延長DO交⊙O于P，則DP是⊙O的直徑；連接OB、OC，則OB＝OC，根據(jù)等邊對(duì)等角證得∠OBC＝∠OCB，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)可得∠∠BAD＝∠CAD，根據(jù)圓周角定理及其推論可得∠BOD＝∠BOC，進(jìn)而證得△BOE≌△COE，繼而得BE＝CE，根據(jù)垂徑定理即可求證結(jié)論；

（2）連接BO、CO、BI、CI，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)可得∠BIC＝90°＋∠BAC，根據(jù)圓周角的性質(zhì)及其推論可得∠BOC＝2∠BAC，由∠BIC＝∠BOC可知90°＋∠BAC＝2∠BAC，繼而求解即可；

（3）①根據(jù)題意可得：BE＝4，DE＝2，OB＝r，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于r的方程，解方程即可；

②由I是△ABC的內(nèi)心可知，DB＝DC＝DI，由勾股定理可得，繼而得DI＝DB＝BC＝，分析題意可知，當(dāng)A點(diǎn)移動(dòng)到使A、I、O、D四個(gè)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，OI有最小值，繼而求得OI＝OD－DI＝5－．

（1）延長DO交⊙O于P，則DP是⊙O的直徑；連接OB、OC，則OB＝OC

∴∠OBC＝∠OCB，

∵I是△ABC的內(nèi)心，

∴AI平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴∠BOD＝∠BOC，

∴△BOE≌△COE（ASA），

∴BE＝CE，

∴DP⊥ BC（平分弦的直徑垂直于弦），

即OD⊥ BC，

（2）連接BO、CO、BI、CI，

∵I是△ABC的內(nèi)心，

∴∠BIC＝90°＋∠BAC

∵∠BOC＝2∠BAC，∠BIC＝∠BOC

∴90°＋∠BAC＝2∠BAC，

∴∠BAC＝60°

（3）①∵BE＝4，DE＝2，OB＝r

∴OE＝OD－DE＝OB－DE＝r－2，

∵OD⊥BC，

∴∠BEO＝90°，

在Rt△BOE中，根據(jù)勾股定理可得

解得：

故⊙O的半徑；

②∵⊙O是△ABC的外接圓，I是△ABC的內(nèi)心，且AI的延長線交⊙O于點(diǎn)D，

∴DB＝DC＝DI，

∵BE＝4，DE＝2，∠BED＝90°,

由勾股定理可得：，

∴DI＝DB＝BC＝,

當(dāng)A點(diǎn)移動(dòng)到使A、I、O、D四個(gè)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，OI有最小值，

此時(shí)OI＝OD－DI＝5－．