Question

17、已知P為?ABCD內(nèi)一點(diǎn)，O為AC與BD的交點(diǎn)，M、N分別為PB，PC的中點(diǎn)，Q為AN與DM的交點(diǎn)，
求證：（1）P，Q，O三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上；
（2）PQ=2OQ．

Answer 1

分析：可先分別假設(shè)出各個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而通過(guò)論證得出其都為三角形的重心，所以可得三點(diǎn)重合，又有重心的性質(zhì)，第（2）問(wèn)即可證明．

解答：證明：如原圖，連PO，設(shè)PO與AN，DM分別交于點(diǎn)Q′，Q″．
在△PAC中，∵AO=OC，PN=NC，
∴Q′為重心，PQ′=2OQ′
在△PDB中，∵DO=BO，BM=MP，
∴Q″為重心，PQ″=2OQ″
這樣Q′=Q″，并且Q′，Q″就是AN，DM的交點(diǎn)Q．
故P，Q，O在一條直線(xiàn)上，且PQ=2OQ．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及重心的性質(zhì)，能夠熟練掌握．