Question

【題目】將一塊正方形和一塊等腰直角三角形如圖1擺放．

（1）如果把圖1中的△BCN繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到圖2，則∠GBM=　 　；

（2）將△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)．

①當(dāng)M，N分別在AD，CD上（不與A，D，C重合）時，線段AM，MN，NC之間有一個不變的相等關(guān)系式，請你寫出這個關(guān)系式：　 　；（不用證明）

②當(dāng)點(diǎn)M在AD的延長線上，點(diǎn)N在DC的延長線時（如圖3），①中的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，寫出你的結(jié)論，并說明理由；若不成立，寫出你認(rèn)為成立的結(jié)論，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 45°；(2) ①見解析; ②見解析.

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠GBA=∠CBN，于是得到∠ABM+∠GBA=45°，即可得到結(jié)論；

（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠GAB=∠C=90°，AG=CN，BG=BN，∠ABG=∠CBN，得到D，A，G三點(diǎn)共線，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GM=MN，于是得到結(jié)論；

②在AM上截取AG，使得AG=CN，連結(jié)BG；根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC，∠A=∠BCN=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BG=BN，∠ABG=∠NBC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）在正方形ABCD和等腰直角△BEF中，

∵∠ABC=90°，

∴∠EBF=45°，

∴∠ABM+∠CBN=45°，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠GBA=∠CBN，

∴∠ABM+∠GBA=45°，

即∠GBM=45°，

故答案為：45°；

（2）①AM+NC=MN；

理由：∵把圖1中的△BCN繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，

∴∠GAB=∠C=90°，AG=CN，BG=BN，∠ABG=∠CBN，

∴∠GAB+∠DAB=180°，

∴D，A，G三點(diǎn)共線，

∴∠ABM+∠GBA=45°，

∴∠GBM=∠MBN，

在△GBM與△NBM中，

，

∴△GBM≌△NBM，

∴GM=MN，

∵GM=AG+AM=CN+AM，

∴MN=AM+CN；

故答案為：MN=AM+CN；

②上面的式子不成立，結(jié)論是：AM﹣NC=MN，

理由：在AM上截取AG，使得AG=CN，連結(jié)BG；

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠A=∠BCN=90°，

在△BAG與△BCN中，

，

∴△BAG≌△BCN，

∴BG=BN，∠ABG=∠NBC，

∴∠MBN=∠MBC+∠CBN=∠MBC+∠ABG=45°=∠GBM，

在△BGM與△BMN中，

∴△BGM≌△BNM，

∴GM=NM，

∴AM﹣CN=MN．