Question

【題目】如圖，直線(xiàn)與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，對(duì)稱(chēng)軸為的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D、點(diǎn)P是該拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，分別交線(xiàn)段BD、BC于點(diǎn)F、G，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．

求該拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

求證：；；

當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】 ，D坐標(biāo)為；證明見(jiàn)解析；證明見(jiàn)解析；t的值為或．

【解析】

（1）由拋物線(xiàn)特點(diǎn)求出A的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再求頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線(xiàn)DB所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，，，．過(guò)點(diǎn)D作軸，垂足為點(diǎn)H，由等腰直角三角形性質(zhì)得，，，所以，在中，；在中，．

分三種情況討論：

Ⅰ若則；

Ⅱ若則；

Ⅲ若則；

分別解方程可得.

解：直線(xiàn)與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．

拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，

點(diǎn)A坐標(biāo)為

設(shè)所求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為，

把點(diǎn)代入，得，

解得．

所求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為：，即．

該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．

，．

易得直線(xiàn)DB所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，，

，．

，即．

過(guò)點(diǎn)D作軸，垂足為點(diǎn)H，如圖．

點(diǎn)D、C的坐標(biāo)分別為、，

是等腰直角三角形，．

是等腰直角三角形，．

是直角三角形，且，，．

在中，．

在中，．

．

分三種情況討論：

Ⅰ若則，

整理得，

解得，舍去．

Ⅱ若則，

整理得，

解得，．

，

這種情況不存在．

Ⅲ若則，

整理得，

解得，．

，

不符合題意，舍去．

綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，t的值為或．