Question

【題目】如圖所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，點D，E，F分別在AB，BC，AC邊上，且BD=CE，BE=CF．

（1）求證：△DEF是等腰三角形；

（2）猜想：當∠A滿足什么條件時，△DEF是等邊三角形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）首先根據(jù)條件證明△DBE≌△ECF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DE=FE，進而可得到△DEF是等腰三角形；

（2）∠A=60°時，△DEF是等邊三角形，首先根據(jù)△DBE≌△ECF，再證明∠DEF=60°，可以證出結(jié)論．

（1）證明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△DBE和△ECF中，

，

∴△DBE≌△ECF，

∴DE=FE，

∴△DEF是等腰三角形；

（2）當∠A=60°時，△DEF是等邊三角形，

理由：∵△BDE≌△CEF，

∴∠FEC=∠BDE，

∴∠DEF=180°-∠BED-∠EFC=180°-∠DEB-∠EDB=∠B

要△DEF是等邊三角形，只要∠DEF=60°．

所以，當∠A=60°時，∠B=∠DEF=60°，

則△DEF是等邊三角形．